HÌNH HỌC 9. CHƯƠNG 2. BÀI 3: LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY
1. Bài toán
Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của đường tròn (O; R). Gọi OH, OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD. Chứng minh rằng:
OH[SUP]2[/SUP] + HB[SUP]2[/SUP] = OK[SUP]2[/SUP] + KD[SUP]2[/SUP].
Giải (h.68)
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào các tam giác vuông OHB và OKD, ta có:
OH[SUP]2[/SUP] + HB[SUP]2[/SUP] = OB[SUP]2[/SUP] = R[SUP]2[/SUP] (1)
OK[SUP]2[/SUP] + KD[SUP]2[/SUP] = OD[SUP]2[/SUP] = R[SUP]2[/SUP] (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OH[SUP]2[/SUP] + HB[SUP]2[/SUP] = OK[SUP]2[/SUP] + KD[SUP]2[/SUP].
Chú ý: Kết luận của bài toán trên vẫn đúng nếu một dãy là đường kính hoặc hai dây là đường kính.
2. Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.
?1. Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:
a) Nếu AB = CD thì OH = OK
b) Nếu OH = OK thì AB = CD.
Ta có định lý sau đây:
Định lý 1
?2. Hãy sử dụng kết quả của bài tập mục 1 để so sánh các độ dài:a) OH và OK, nếu biết AB > CD.
b) AB và CD, nếu biết OH < OK.
Ta có định lí sau:
Định lý 2
?3. Cho tam giác ABC, O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF (h.69).Hãy so sánh các độ dài:
a) BC và AC
b) AB và AC.
Bài tập
12. Cho đường tròn tâm O bán kính 5 cm, dây AB = 8 cm.
a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.
b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI = 1 cm. Kẻ dây CD đi qua và vuông góc với AB. Chứng minh rằng CD = AB.
13. Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:
a) EH = EK
b) EA = EC.
Luyện tập
14. Cho đường tròn tâm O bán kính 25 cm, dây AB bằng 40 cm. Vẽ dây CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22 cm. Tính độ dài dây CD.
15. Cho hình 70 trong đó hai đường tròn cùng có tâm là O. Cho biết AB > CD. Hãy so sánh các độ dài:
a) OH và OK;
b) ME và MF;
c) MH và MK
16. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn. Vẽ dây BC vuông góc với OA tại A. Vẽ dây EF bất kì đi qua A và không vuông góc với OA. Hãy so sánh độ dài hai dây BC và EF.
NGUỒN: SƯU TẦM
