Tìm nhanh cực trị của hàm phân thức?

[son93]

Nào các bạn ơi làm tiếp nhé, hăng hái gửi bài lên nào:
cho hàm số:
\[y = \frac{x^2-4}{x+1}\]
tìm quỹ tích tất cả những điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số
(quỹ tích đại số luôn hay đúng không)
làm đi nhé. Tối mai mình làm rồi gửi đáp án và chủ đề mới để bà con cùng bàn!

 

[Spider_man]

Cho \[A(a,0) \in Ox\\]. Đường thẳng đi qua A với hệ số góc k có pt y=k(x-a) tiếp xúc với (C)

<=> \[k(x - a) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 1}}\\] có nghiệm kép

<=> \[(1 - k){x^2} - k(1 - a)x - (4 - ka) = 0\\] có nghiệm kép

<=> \[k \ne 1\\] và \[\Delta = 0\\]

<=> \[\Delta = g(k) = {(a + 1)^2}{k^2} - 4k(4 + a) + 16 = 0\\]

Từ A(a,0) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) <=> g(k) = 0 có đúng 1 nghiệm k khác 1. Xét 3 trường hợp có thể xảy ra:

TH1: Nếu \[{(a + 1)^2} = 0 = > a = - 1 = > k = \frac{4}{3}\\] (thỏa mãn)

- Ta có:

\[\Delta 'g = - 48{a^2} + 192\\]

\[g(1) = {(a + 1)^2} - 4(4 + a) + 16\\]

TH2: \[\Delta 'g > 0\\] và \[g(1) = 0\\]

<=> a = 1 (thỏa mãn)

TH3: \[\Delta 'g = 0\\] và \[g(1) \ne 0\\]

<=> \[a \ne 1\\] và \[a = \pm 2\\] (thỏa mãn)

Kết luận: Từ \[{A_1}(1;0);{A_2}( - 1;0);{A_3}(2;0);{A_4}( - 2;0)\\] thuộc Ox kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

 

[maulanh93]

Thanks s nhiều

 

[Spider_man]

Câu hỏi tương tự nhưng thay Ox = Oy?

tìm quỹ tích tất cả những điểm trên trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số

 

[son93]

Bài này chắc các bạn làm được luôn rồi, vì việc làm nó không khó và tương tự như bài tập mà bee đã trình bày trên!
Mình ra đề để tiếp tục topic này nhé!
Bài 1:
cho hàm số:
\[y=\frac{x^2-(2m+3)x+6}{x-2}\]
tìm m để hàm số trên có cực trị, tìm quỹ tích 2 điểm đó
Bài 2:
Cho hàm số:
\[y=\frac{x^2+mx-2m+8}{x-1}\]
xác định m để hàm số có cực trị
1. 2 điểm cực trị nằm về cùng phía đường thẳng \[y=\frac{9}{7}x-\frac{1}{7}\]
2. đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị cắt đường thẳng \[y=\frac{9}{7}x-\frac{1}{7}\].
Các bạn làm nhé! Mình muốn tối mai sẽ nhìn thấy 1 vài bài reply bài của mình!

 

[Spider_man]

Bài 1:
cho hàm số:

tìm m để hàm số trên có cực trị, tìm quỹ tích 2 điểm đó

Bài 1:

Hàm số có cực đại, cực tiểu <=> m < 1 (cụ thể vì sao thôi không nói nữa nhé!)

Dễ dàng CM

\[y'({x_0}) = \frac{{u'({x_0})v({x_0}) - u({x_0})v'({x_0})}}{{{v^2}({x_0})}} = 0 = > \frac{{u({x_0})}}{{v({x_0})}} = \frac{{u'({x_0})}}{{v'({x_0})}}\\]

Áp dụng: Với m < 1 thì \[g(x) = {x^2} - 4x + 4m = 0\\] hay y' = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Đặt \[u(x) = {x^2} - (2m + 3)x + 6\\]và \[v(x) = x - 2\\]

Ta có:

\[\left{y'({x_1}) = 0\\y'({x_2}) = 0\\]

=> \[\left{y({x_1}) = \frac{{u'({x_1})}}{{v'({x_1})}} = 2{x_1} - (2m + 3)\\y({x_2}) = \frac{{u'({x_2})}}{{v'({x_2})}} = 2{x_2} - (2m + 3)\\]

=> BBT

Nhìn BBT => x1 = xCĐ, x2 = xCT

\[\left{{x_1} = 2 - 2\sqrt {1 - m} \\{y_1} = 2{x_1} - (2m + 3)\]

=> \[{y_1} = \frac{{x_1^2}}{2} - 3\\]

Vậy: Quỹ tích các điểm cực đại Parabol (P1):\[y = \frac{{{x^2}}}{2} - 3\\] với x < 2

Quỹ tích các điểm cực đại Parabol (P2): \[y = \frac{{{x^2}}}{2} - 3\\] với x > 2

Bài 2: Để lúc khác vậy :sweat:, gõ bài 1 mệt rồi!

 

[Spider_man]

Bài 2:
Cho hàm số:

xác định m để hàm số có cực trị
1. 2 điểm cực trị nằm về cùng phía đường thẳng

2. đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị cắt đường thẳng

.

Xử lý câu 2b thôi, câu 2a tớ chịu!

Hàm số có cực trị <=> y'=0 <=> m < 9

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: y = 2x + m (d1)

Vì a khác a' nên với mọi m (d1) và

luôn cắt nhau!

 

[son93]

Nếu phần a không có thì bạn cứ nói là không có giá trị thỏa mãn, nhưng quan trọng là cách làm của bạn có đúng không thôi, cái này dùng khái niệm về Phương tích (mình nói vậy không biết có đúng không)
đường thẳng
ax+by+c=0
và 2 điểm A(x1;y1), B(x2;y2)
P = (ax1+by1+c)(ax2+by2+c)
xét dấu của P
P > 0 thì A và B cùng nằm về 1 phía của đường thẳng trên
P < 0 thì A và B cùng nằm về 2 phía khác nhau của đường thẳng trên
P = 0 thì có ít nhất 1 điểm trên đường thẳng đó

 

[son93]

Còn phần b không quá dễ đâu nhé, vì đây đề hỏi là ĐOẠN THẲNG nối 2 điểm cực trị!

 

[m00n]

2 phần làm tươmg tự nhau.
gọi (x1,y1),(x2,y2) là 2 cực trị
khi đó chúng là nghiệm của pt bậc 2 tham số m (đạo hàm hàm số đã cho,xét tử)
theo viet tính x1+x2,x1x2 theo m và tính được y1=2x1+m,y2=2x2+m
đặt f(x,y)=\[\frac{9}{7}x-\frac{1}{7}-y\]
xét dấu của f(x1,y1).f(x2,y2) là ok

 

[son93]

Nếu bài toán trên ở dạng đường thẳng cắt đoạn thẳng cực trị thì sẽ đơn giản hơn nhiều, bây giờ các bạn thử hình dung 2 đoạn thẳng cắt nhau, hay đoạn thẳng cực trị không cắt đường thẳng sẽ làm ra sao??

 

[son93]

Tiếp tục topic này nào, beedrill đi đâu rồi, gửi bài lên đi, bây giờ mình sẽ đấu hàm số với các bạn (nói là đấu thôi, chắc nhiều bài mình không làm được) mời các bạn tiếp tục gửi bài về nhé

 

[son93]

Mình ra đòn:
cho hàm số: \[y=x^3-2x^2+x\] (C)
a. Khảo sát đồ thị (con này khỏi nói)
b. gọi (d) là đường thẳng đi qua gốc tọa độ, có hệ số góc m, khảo sát sự tương giao của (d) và (C)
c. ngoài O (d) còn cắt (C) tại M và N xác định m để 1 trong 2 điểm cực trị của hàm số nhìn MN dưới 1 góc vuông

 

[son93]

Mọi người cùng làm đi nào! Tuần này mình sẽ cho các box tự nhiên nhiều thật nhiều bài!
Cùng vì diễn đàn kiến thức nha!

 

[ngphong]

Vik pt hoành độ giao điểm
\[x^3-2x^2+x=mx\]

\sr\[x(x^2-2x+1-m)=0\]

Hi phương trình này lun có nghiệm x=0 rùi nên chỉ cần biện luận số nghiệm của pt bậc 2 là đc nhưng chú ý trường hợp pt này có nghiệm x=0 là ok


Kết quả của mình là
m lớn hơn 0và \[m\neq1\] d cắt C tại 3 điểm phân biệt

m=0, d cắt C tại 2 điểm phân biệt

m nhỏ hơn 0 hoặc m=1 thì d cắt C tạo 1 điểm


c- Vik tọa độ giao điểm ra thui, hic lười hok có gõ đâu

Sau đó dùng tích vô hướng của 2 vecto giải ra m và đối chiếu với điều kiện của phần b

Để mình làm kĩ ra vậy á

 

[son93]

Tiếp nào:
Bài tập: cho họ đường thẳng \[(Cm):y=\frac{2x^2+(1-m)x+m+1}{x-m}\] (trong đó m khác 1). Tìm đường thẳng cố định luôn tiếp xúc với họ đường cong trên.

 

[son93]

Ôi chẳng ai làm bài của mình cả! hix không làm thì mình cho thêm bài nữa nhé!
Bài 1: cho hàm số \[g(x) = 4x^3+ax^2+bx+c\] xác định hàm số trên nếu \[|x| \geq 1\] mà \[|g(x)| \geq 1\]. Chứng minh rằng nếu \[|x| \geq 1\] mà \[|f(x)| \geq 1\], trong đó \[f(x) = 4x^3-dx\] thì \[f(x)\] và \[g(x)\] trùng nhau.

 

[son93]

Vẫn không ai làm bài của mình. Thêm 1 bài nữa:
\[(Cm):y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}\].
1. Tìm trên mỗi nhánh của hàm số sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất
2. Tìm trên tọa độ điểm A trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách của A đến các đường tiệm cận là nhỏ nhất.

 

[son93]

Vẫn không ai làm bài của mình. Thêm 1 bài nữa:
\[(Cm):y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}\].
1. Tìm trên mỗi nhánh của hàm số sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất
2. Tìm trên tọa độ điểm A trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách của A đến các đường tiệm cận là nhỏ nhất.

\[y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}=x+2+\frac{1}{x+1}\].
gọi tọa độ các điểm \[M(x1;y1)\] và \[N(x2;y2)\] lần lượt thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.
vậy\[ x1=-1+a \]và \[x2 = -1-b\] nên tọa độ của \[M(a-1;a+1+\frac{1}{a}) ;N(-b-1;-b-1-\frac{1}{b})\]
. Sau đó lập công thức tính khoảng cách dùng bất đẳng thức cosy để đánh giá.
Trên đó là cách khảo sát định lượng. Định hình thì sẽ phải dựng đường phân giác của 2 đường tiệm cận cắt tại các đỉnh của hipebol

 

[son93]

Tiếp nào:
Bài tập: cho họ đường thẳng \[(Cm):y=\frac{2x^2+(1-m)x+m+1}{x-m}\] (trong đó m khác 1). Tìm đường thẳng cố định luôn tiếp xúc với họ đường cong trên.

Bài toán trên có thể trình bày theo 4 cách bạn nào giải đi, mình toàn phải tự sử mấy bài này thôi!