Tìm nhanh cực trị của hàm phân thức?

[Spider_man]

TÌM NHANH CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC
​

Tím cực trị hàm số sau:

\[y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\\]

Giải bài toán trên mà không sử dụng bảng biến thiên với đạo hàm cấp 2?

Mời các bạn cùng suy nghĩ!

 

[hana_lovemusic]

\[y'=\frac{{x}^{2}-2x-3}{{(x-1)}^{2}}\]
pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt x=3 ; x=-1
\[\Rightarrow\] hàm số đạt cực trị tại x=3 và x=-1
Đường thẳng nối 2 điểm cực trị của hàm số có pt: y=2x-3
\[\Rightarrow\] x=3 --> y=3
x=-1 --> y=-5
Vậy 2 điểm có toạ độ (3;3) và(-1;-5) là 2 cực trị hàm số đã cho

 

[Spider_man]

Còn ai có cách nào khác nữa không?

Đường thẳng nối 2 điểm cực trị của hàm số có pt: y=2x-3

Sao bạn lại có đường thẳng này? Giải thích giúp tớ với!

 

[hana_lovemusic]

đối với pt phân thức dạng \[\frac{a{x}^{2}+bx+c}{dx+e}\]
thì đt nối 2 cực trị sẽ có pt \[ \frac{2ax+b}{d}\]

ở sách GK cũ có 1 định lý (hic! mình quên tên rồi). Định ly' đó cho phép chứng minh điều mình vừa nói trên.
Nhưng sách GK mới ko hiểu sao lại ko cho học ĐLý đó, có lẽ bay giờ chúng ta được phép công nhận pt đường thẳng nối 2 cực trị hàm phân thức trên

Mình biết được kiến thức trên là nhờ 1 thầy giáo có tuổi đó! bạn thử xác nhận lại với thầy cô giáo của mình xem có đúng không nha!

 

[Spider_man]

Định lý trên tớ cũng đọc ở 1 số sách rồi, còn chuyện xác nhận với cô giáo tớ xin để sau!

Vẫn còn 1 cách nữa, cách này gần giống với cách của bạn hana_lovemusic, có điều không phải đạo hàm cả phân thức dễ gây nhầm lẫn!

Ai có cao kiến gì khác không?

 

[bigbang195]

miền giá trị .

 

[NguoiDien]

miền giá trị .

Biến đổi hàm số về dạng: \[y=x-1+\frac{4}{x-1}-1\].

Khi đó nếu \[x>1\] thì \[x-1>0\] nên \[x-1+\frac{4}{x-1}\geq 2\] (Cô si) nên \[y\geq 2-1=1\]. Đẳng thức xảy ra khi \[\left{ x-1=\frac{4}{x-1} \\ x>1\]

Suy ra \[x=3\]. (một cực tri)

Nếu \[x<1\] thì \[x-1<0\] nên \[[x-1+\frac{4}{x-1}]\leq -2\] (Cô si) nên \[y\leq -2-1=-3\]. Đẳng thức xảy ra khi \[\left{ x-1=\frac{4}{x-1} \\ x<1\]

Suy ra \[x=-1\] (Cực trị thứ hai).

 

[NguoiDien]

đối với pt phân thức dạng \[\frac{a{x}^{2}+bx+c}{dx+e}\]
thì đt nối 2 cực trị sẽ có pt \[ \frac{2ax+b}{d}\]

ở sách GK cũ có 1 định lý (hic! mình quên tên rồi). Định ly' đó cho phép chứng minh điều mình vừa nói trên.
Nhưng sách GK mới ko hiểu sao lại ko cho học ĐLý đó, có lẽ bay giờ chúng ta được phép công nhận pt đường thẳng nối 2 cực trị hàm phân thức trên

Mình biết được kiến thức trên là nhờ 1 thầy giáo có tuổi đó! bạn thử xác nhận lại với thầy cô giáo của mình xem có đúng không nha!

Định lý này hiện nay không còn thịnh hành. Tuy nhiên việc chứng minh định lý này dựa trên việc biến đổi hàm số:

\[y=f(x)=f'(x).h(x)+g(x)\].

Khi đó tại điểm cực trị thì \[f'(x)=0\] nên hàm số \[y=g(x)\] chính là đường qua các cực trị của đồ thị hàm số \[y=f(x)\]. Dùng phương pháp này ta thường giải các bài toán về tìm đường qua các cực trị (đường cong nếu số cực trị lớn hơn 2 như hàm số bậc bốn chẳng hạn).

Lúc nào có thời gian tôi sẽ post đầy đủ với các hàm số bậc bốn, bậc ba và hàm số phân thức được khảo sát trong chương trình phổ thông.

 

[son93]

vậy mà
beedrill
không nói mình tưởng cách nào đó áp dụng được cho mọi bài toán cơ! nhưng dù sao cũng khá hay, nhân tiện đây mình sẽ trình bày cách chứng minh định lí về đường thẳng nối 2 điểm cực trị của hàm số phân thức bậc 2 / bậc nhất để bà con coi nhé:
xét hàm số sau:
\[y = \frac{P(x)}{Q(x)}\]
vậy đạo hàm của hàm sô trên
\[y' = \frac{P(x)Q'(x)-P'(x)Q(x)}{Q^2(x)}\]
y'=0
khi và chỉ khi
\[P(x)Q'(x)-P'(x)Q(x)=0\]
hay \[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P'(x)}{Q'(x)}\] (*)
lại có hoành độ của các điểm cực trị là nghiệm của phương trình y'=0
vậy phải thỏa mãn (*) (chú ý là điểm cực trị cũng là điểm nằm trên đồ thị)
vậy (*) tương đương với \[y=\frac{P'(x)}{Q'(x)}\]
vậy tọa độ của các điểm cực trị phải thỏa mãn phương trình trên
vậy với \[y=\frac{ax^2+bx+c}{mx+n}\]
thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \[y=\frac{2ax+b}{m}\]
thế là xong!
Bài tập áp dụng: (đơn giản thôi)
cho hàm số:
\[y=\frac{x^2+mx-m-8}{x-1}\]
xác định m để 2 điểm cực trị của hàm số
a. song song với đường thẳng y = 2x - 1
b. vuông góc với đường thẳng y = x+3
c, sao cho 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng y = 3x + 4
d. sao cho đường thẳng y = 1 không cắt đoạn cực trị

 

[son93]

Sơn có ý kiến là dùng luôn phạch này để thảo luận về hàm số, các bạn làm bài tập về đường thẳng nối 2 cực trị của mình đi nhé, mai minh lại post bài mơi lên, và cả chủ đề mới về hàm số để các bạn thảo luận, vậy nhé!

 

[bigbang195]

TÌM NHANH CỰC TRỊ CỦA HÀM PHÂN THỨC
​

Tím cực trị hàm số sau:

\[y = \frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}}\\]

Giải bài toán trên mà không sử dụng bảng biến thiên với đạo hàm cấp 2?

Mời các bạn cùng suy nghĩ!

Em năm nay mới lên lớp 10 và miền giá trị ko phải là dùng đạo hàm gì gì đâu ạ, thầy em dạy ntn ạ:

ta có:

hay

Giải BDT này ta tìm được khoảng của y, thể thôi ạ

 

[son93]

Hôm nay mình đưa ra chủ đề đầu tiên về hàm số là: TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ
mọi người thấy sao?

 

[bigbang195]

vậy mà
beedrill
không nói mình tưởng cách nào đó áp dụng được cho mọi bài toán cơ! nhưng dù sao cũng khá hay, nhân tiện đây mình sẽ trình bày cách chứng minh định lí về đường thẳng nối 2 điểm cực trị của hàm số phân thức bậc 2 / bậc nhất để bà con coi nhé:
xét hàm số sau:
\[y = \frac{P(x)}{Q(x)}\]
vậy đạo hàm của hàm sô trên
\[y' = \frac{P(x)Q'(x)-P'(x)Q(x)}{Q^2(x)}\]
y'=0
khi và chỉ khi
\[P(x)Q'(x)-P'(x)Q(x)=0\]
hay \[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P'(x)}{Q'(x)}\] (*)
lại có hoành độ của các điểm cực trị là nghiệm của phương trình y'=0
vậy phải thỏa mãn (*) (chú ý là điểm cực trị cũng là điểm nằm trên đồ thị)
vậy (*) tương đương với \[y=\frac{P'(x)}{Q'(x)}\]
vậy tọa độ của các điểm cực trị phải thỏa mãn phương trình trên
vậy với \[y=\frac{ax^2+bx+c}{mx+n}\]
thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \[y=\frac{2ax+b}{m}\]
thế là xong!
Bài tập áp dụng: (đơn giản thôi)
cho hàm số:
\[y=\frac{x^2+mx-m-8}{x-1}\]
xác định m để 2 điểm cực trị của hàm số
a. song song với đường thẳng y = 2x - 1
b. vuông góc với đường thẳng y = x+3
c, sao cho 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của đường thẳng y = 3x + 4
d. sao cho đường thẳng y = 1 không cắt đoạn cực trị

Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 2x+m (x khác 1 ) luôn song song với 2x-1.
không thể vuông góc với x+3

phần c và d làm ntn ạ

 

[son93]

Trình bày đi chú!

 

[bigbang195]

xét hàm số sau:
\[y = \frac{P(x)}{Q(x)}\]
vậy đạo hàm của hàm sô trên
\[y' = \frac{P(x)Q'(x)-P'(x)Q(x)}{Q^2(x)}\]
y'=0
khi và chỉ khi
\[P(x)Q'(x)-P'(x)Q(x)=0\]
hay \[\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P'(x)}{Q'(x)}\] (*)
lại có hoành độ của các điểm cực trị là nghiệm của phương trình y'=0
vậy phải thỏa mãn (*) (chú ý là điểm cực trị cũng là điểm nằm trên đồ thị)
vậy (*) tương đương với \[y=\frac{P'(x)}{Q'(x)}\]
vậy tọa độ của các điểm cực trị phải thỏa mãn phương trình trên
vậy với \[y=\frac{ax^2+bx+c}{mx+n}\]
thì phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là \[y=\frac{2ax+b}{m}\]
thế là xong!

\[y=\frac{x^2+mx-m-8}{x-1}\]


Suy ra đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 2x+m

a/để đường thẳng 2x-1 song song thì hệ số của x phải bằng hệ số của 2x+m và nó là 2 1 hằng số do vậy 2 đường thẳng này luôn luôn song song với mọi x khác 1.
b/để đường thẳng 2x-1 vuông góc với x+3 thì hệ số x của 2 hàm số phải có tích là -1 mặt khác 2.1=2 do vậy 2 đường này ko thể vuông góc được.

anh giải 2 phần còn lại đi ạ

 

[son93]

Oh beedrill mầu nick của bạn đâu mất rồi? Sơn sẽ làm vào ngày mai, không đến lúc có người lại nói mình là không để cho bà con giải, mình sẽ trinh bày chuyên đề: 3 dạng bài của tiếp tuyến đồ thị hàm số/

 

[son93]

Bạn beedrill nói tiếp phần cực trị vì thế Sơn gửi các bạn một số bài tập về phần này nhé, các bạn làm rồi gửi lên diễn đàn nhé:
1/ cho hàm số:
\[\frac{x^2-2x+m}{x}\]
a.tìm m để hàm số có cực trị
b. xác định quỹ tích điểm cực đại và cực tiểu của hàm số
(hỏi nhỏ này : tìm trên mp tọa độ những điểm sao cho mỗi 1 trong số các điểm đó là điểm cực đại ứng với 1 giá trị nào đó của m đồng thời của m điểm đó là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với 1 giá trị khác của m)

 

[Spider_man]

Bạn beedrill nói tiếp phần cực trị vì thế Sơn gửi các bạn một số bài tập về phần này nhé, các bạn làm rồi gửi lên diễn đàn nhé:
1/ cho hàm số:
\[\frac{x^2-2x+m}{x}\]
a.tìm m để hàm số có cực trị
b. xác định quỹ tích điểm cực đại và cực tiểu của hàm số
(hỏi nhỏ này : tìm trên mp tọa độ những điểm sao cho mỗi 1 trong số các điểm đó là điểm cực đại ứng với 1 giá trị nào đó của m đồng thời của m điểm đó là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với 1 giá trị khác của m)

a. Hàm số có cực trị <=> y'=0 <=> \[\frac{{{x^2} - m}}{{{x^2}}} = 0\\]<=> m>0

b. Dễ dàng CM \[\frac{{u({x_0})}}{{v({x_0})}} = \frac{{u'({x_0})}}{{v'({x_0})}}\\]

Với m>0 thì y'(x)=0 có 2 nghiệm x1<x2 và hàm số đạt cực trị tại x1, x2. Đặt \[u(x) = {x^2} - 2x + m\\] và \[v(x) = x\\]

Ta có:

\[y({x_1}) = \frac{{u'({x_1})}}{{v'({x_1})}} = 2{x_1} - 2\\]

\[y({x_2}) = \frac{{u'({x_2})}}{{v'({x_2})}} = 2{x_2} - 2\\]

=> BBT:

KL: Quỹ tích các điểm cực đại là \[y = 2x - 2\\] với x < 0

Quỹ tích các điểm cực tiểu là \[y = 2x - 2\\] với x > 0

Còn câu hỏi nhỏ để dành cho các bạn khác trả lời giúp

 

[son93]

Câu hỏi nhỏ đó các bạn trả lời nhé, còn mình xin trình bày cách giải tổng quát cho những bài toán tìm quỹ tích như thế này:
Bạn có thể làm theo 2 hướng:
+) Hướng 1: (cho mọi bài, có thể nói vậy)
bạn cần biểu diễn tọa độ điểm cần tìm quỹ tích theo tham số (là m nhé)
ví dụ cần tìm quỹ tích điểm A(x;y)
thì cần biểu diễn
x = G(m)
y = H(m)
sau đó khử m
thu được hệ thức độc lập của x và y không chứa m
+) Hướng 2: hướng này dùng cho quỹ tích những điểm trên đồ thị hàm số (như điểm cực trị trên)
bạn tính hoành độ rồi thay hoành độ x đó vào phương trình của hàm số, sẽ được phương trình cần tìm!
*Nếu cho mình nhận xét bài của Beedrill thì mình sẽ nhận xét là chưa chặt chẽ (vì sao thì các bạn hiểu rồi đấy, người ta có thể hỏi với những câu khác mà bạn không thể khử m khi lấy đạo hàm bậc nhất trên tử như bài này, thì sao???)
vì vậy mình nghĩ là nên trình bày theo 1 trong 2 hướng mà mình nêu trên! Các bạn thử đi nhé!

 

[son93]

Mời các bạn tiếp tục làm bài gửi các bài tập về hàm số cho box toán trong topic này! Để góp phần làm phong phú hơn kiến thức của mọi người và thêm phần sôi động. Xin cảm ơn!