Giúp em bài lượng giác này với

[leducchung_2512]

Chứng minh với mọi tam giác

\[{cot}^{2}\frac{A}{2}+{cot}^{2}\frac{B}{2}+{cot}^{2}\frac{C}{2}=9\]
:feel_good:thì tam giác đó đều

Cho em gửi lời cảm ơn trước nha!!!!!! :big_smile:

 

[conngan23]

Theo mình nghĩ không biết đúng không thì:
*) ta cm được BDT : (x + y + z)(1/x + 1/y + 1/z) >= 9
áp dụng thì ta có: ( (cot A/2)^2 + (cot B/2)^2 + (cot C/2)^2 ) : ( (tan A/2)^2 + (tan B/2)^2 +(tan C/2)^2 ) >=9 (do tan x = 1 / cot x)

*) ta tiếp tục cm được: tan A/2 . tan B/2 + tan B/2 . tan C/2 + tan C/2 . tan A/2 =1 (1)
Ta có: ( tan A/2 - tan B/2) ^2 + ( tan B/2 - tan C/2) ^2 + ( tan C/2 - tan A/2) ^2 >=0 (đúng) (2)
Từ (1) và (2) => (tan A/2)^2 + (tan B/2)^2 +(tan C/2)^2 = 1

*) ĐTXR <=> tan A/2 = tan B/2 = tan C/2 => A = B = C => tam giác ABC đều