Bài toán tam giác

[lyna]

CMR: Nếu 1 tam giác có 2 đường phân giác = nhau thì tam giác đó cân.-thanks you

CMR: Nếu 1 tam giác có 2 đường phân giác = nhau thì tam giác đó cân.
Tương truyền thì bài này có tới 14 cách lận và cũng có thể là nhiều hơn thế. nhưng tớ lại chẳng làm được cách nào cả.

[you] giúp tớ với nhá! thanks [you] nhìu!

 

[ZzglacialzZ]

ban lyna a`, bạn vẽ hình ra gọi o la` giao điểm của 2 dg phân giác BO và CO
theo định lý thì=> khoảng cách từ O đến các cạnh AB ,AC, BC bằng nhau
nếu 2 duong phân giác = nhau=>OB=OC
xét tam giác OBC có OB=OC=> OBC cân =>góc BCO=góc CBO
ta có: góc BcO =OCA và CBO=OBA=> BCO +OCA=OBC+OBA=> điều phải chứng minh , nhan tk ho nha

 

[lyna]

nếu 2 duong phân giác = nhau=>OB=OC

giải thích hộ lyna đoạn này được hem!

 

[ZzglacialzZ]

ta co khoang cach từ O den các canh bang nhau mà 2 duong phan giac bang nhau thì đoạn OB=OC thoi

 

[lyna]

lyna vẫn chưa hiểu
bạn nói rõ hơn đc kô?

 

[nuhoangbongdem]

Mình giải thích đoạn này nhé !
Gọi BM và CM là hai đường phân giác của tam giác ABC . ( BM=CM)
O là giao điểm của BM và CM
Theo tính chất của ba đường phân giác của tam giác , ta có :
OB=2/3 BM
OC=2/3 CM
mà BM =CM (gt) => OB = OC
Đó , mình giải thích xong chỗ này rồi !

 

[lyna]

Mình giải thích đoạn này nhé !
Gọi BM và CM là hai đường phân giác của tam giác ABC . ( BM=CM)
O là giao điểm của BM và CM
Theo tính chất của ba đường phân giác của tam giác , ta có :
OB=2/3 BM
OC=2/3 CM
mà BM =CM (gt) => OB = OC
Đó , mình giải thích xong chỗ này rồi !

nhưng bạn ơi
hình như làm gì có thính chất này
đây là tính chất của 3 đường trung tuyến chứ

 

[ZzglacialzZ]

ban lyna noi dung do, tinh chat 2/3 chi co trong duong trung tuyen thoi
ban ve~ hinh ra
minh goi BH va CM la` duong phan giac
BH va CM giao nhau tai O
theo tinh chat 3 DUONG phan giac thi` OM=OH
ma` BH=CM (gt)
-> BO=CO
duk chua ban lyna , ko hieu nua~ thi` goi cho minh ,01667326209

 

[ZzglacialzZ]

ban hieu chua lyna

 

[Tamduongkhach]

goi BH va CM la` duong phan giac
BH va CM giao nhau tai O
theo tinh chat 3 DUONG phan giac thi` OM=OH

Theo tc 3 đường phân giác thì chưa thể kết luận OM = OH.
Bài này cm trực tiếp rất khó đấy. Nên cm bằng phản chứng

 

[ZzglacialzZ]

hic, ông không biết là giao điểm của 3 đường phân giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó à

 

[Tamduongkhach]

Đúng vậy nhưng nếu hạ đường vuông góc xuống 3 cạnh thì 3 đoạn đó mới bằng nhau. Còn OH và OM là cái gì mà bằng nhau?

 

[ZzglacialzZ]

ac ,hạ đường vuông góc là giao điểm của 3 đường cao thì sao ma` bang được, vừa ở đầu câu nói :"đúng vậy " nghe duk thì cuối câu lại tự phản bác ý kiến của chính mình

ko tranh luận với ông nữa , mệt bỏ xừ, bạn lyna hiểu được vấn đề nên đâu không thèm tranh luận với ông nữa đó

 

[Tamduongkhach]

Tôi nói là hạ đường vuông góc từ điểm O (giao của 3 phân giác như bạn đặt tên) xuống 3 cạnh thì 3 đoạn đó mới bàng nhau vì O là tâm đường tròn nội tiếp tg ABC.
CM của bạn có sự ngộ nhận rồi, xem lại hình dưới đây. OE=OF còn OH và OM chưa thể kết luận được

 

[Tamduongkhach]

xem hình vẽ ở trên, bây giờ mình đã biết cách bỏ hình vào bài

 

[lyna]

umk. lyna thấy là bạn Tamduongkhach nói đúng đó!
chưa kết luận được OH = OM dễ dàng vệy được

 

[lyna]

lyna có ý kiến này!
mọi người thử giải bài này theo cách lượng giác thử xem. chắc đó cũng là 1 trong 14 cách nhỉ?!

 

[Tamduongkhach]

Khi nào mình sẽ gởi cho cách giải trực tiếp cũng ko khó (lớp 9 cm được), chỉ hơi rắc rối thôi

 

[math2010]

làm gì có tính chất 3 đường phân giác đó ZzglacialzZ

 

[Toantu]

Bài toán Steiner - Leimus

1. Bắt đầu từ một bức thư

Năm 1840, nhà toán học người Pháp D.Ch.L, Leimus (1780 - 1863) gửi cho nhà hình học nổi tiếng người Thụy Điển J. Steiner (1769 - 1863) một bài toán hay với yêu cầu đưa ra một cách chứng minh thuần túy hình học : “Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF bằng nhau. Chứng minh rằng tam giác ABC cân” (Bài toán 1) Để giải quyết bài toán này, J. Steiner đã chứng minh bổ đề : “Trong tam giác ABC, với BC = a ; CA = b ; AB = c ; đường phân giác trong AD của tam giác được tính bởi công thức (*)

Chỉ cần kiến thức hình học lớp 8, các bạn có thể tự chứng minh điều này. áp dụng công thức (*) ta chứng minh bài toán 1 : Ta có BE = CF

2. Khát khao vươn tới cái đẹp

Cách chứng minh trên của J. Steiner đúng nhưng ... chưa đẹp vì chưa thực sự “thuần túy hình học”. Bởi thế, sau khi phép chứng minh trên được công bố, rất nhiều người đã lao vào để cố công tìm kiếm một phép chứng minh mới, hay hơn cho bài toán 1. Hơn 150 năm trôi qua ... nhiều phép chứng minh mới đã nối tiếp nhau ra đời. Trong các chứng minh đó, người ta đặc biệt quan tâm tới hai phép chứng minh sau : 1. Phép chứng minh của R. W. Hegy Năm 1983, R. W. Hegy công bố phép chứng minh này trên tạp chí “The mathematical gazette” của Anh, chỉ cần dùng kiến thức hình học lớp 7. Nếu Đ A > Đ B thì ta dựng hình bình hành BEDF như hình bên. Kí hiệu các góc như trên hình vẽ, ta thấy : Nếu Đ B > Đ C => Đ B2 > Đ C2 => Đ D1 > Đ C2 (1) Mặt khác, vì BE = CF nên DF = CF
=> Đ D1 + Đ D2 > Đ C2 + Đ C3 (2) Từ (1) và (2) => Đ D2 < Đ C3 Xét các tam giác BCE và CBF, ta thấy : BC chung, BE = CF, BF > CF nên Đ C1 > Đ B1 => Đ C > Đ B. Mâu thuẫn. Nếu Đ B < Đ C , hoàn toàn tương tự cũng dẫn đến mâu thuẫn. Chứng tỏ : Đ B = Đ C => cân đỉnh A (đpcm). 2. Phép chứng minh của G. Julbert và D. Mac. Donnell Năm 1963, phép chứng minh được công bố trên tạp chí “American Mathematical Monthey” của Mỹ. Phép chứng minh này giải quyết bài toán khác mà bài toán 1 chỉ là hệ quả của nó. Đó là bài toán : “Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong BE, CF. Chứng minh rằng : Nếu Đ B ≥ Đ C thì BE ≤ CF” (Bài toán 2).

Nào! Các nhà toán học nhỏ hãy giải quyết bài toán 2 để thử sức mình và gửi gấp về TTT2 nhé ! Vấn đề chưa dừng lại đâu ... Các bạn thử trăn trở xem có đề xuất được điều gì mới không ? Hẹn gặp lại các bạn ở số tạp chí sau.

Nguyễn Minh Hà


(ĐHSP I Hà Nội)

(Theo toantuoitho.vn)