[Toán 10]Giải hệ phương trình

[Aquarius]

Giải hệ phương trình:

\[\begin{cases} & \text 2 = \sqrt{x}+ \sqrt{y} \\
& \text 2\sqrt{2}= \sqrt{x + 1}+\sqrt{y+1}
\end{cases}\]

 

[NguoiDien]

Giải hệ phương trình:

\[\begin{cases} 2 = \sqrt{x}+ \sqrt{y} \\ 2\sqrt{2}= \sqrt{x + 1}+\sqrt{y+1}\end{cases}\]

Điều kiện: \[x,y\geq 0\].

Bình phương hai vế cả hai phương trình ta có hệ:

\[\begin{cases}x+y+2\sqrt{xy}=4 \\ x+y+2+2\sqrt{x+y+xy+1}=8\end{cases}\]

Đặt \[\begin{cases}u=x+y \\ v=xy\end{cases}\]

Hệ trở thành:

\[\begin{cases}u+2\sqrt{v}=4 \\ u+2+2\sqrt{u+v+1}=8\end{cases}\]

\[\Leftrightarrow\begin{cases}u=4-2\sqrt{v}\qquad (1) \\ u+2\sqrt{u+v +1}=6\quad (2)\end{cases}\]

Thế \[(1)\] vào \[(2)\] ta được:

\[4-2\sqrt{v}+2\sqrt{4-2\sqrt{v}+v+1}=6 \Leftrightarrow \sqrt{v-2\sqrt{v}+5}=1+\sqrt{v}\]

Bình phương hai vế được:

\[\sqrt{v}=1\Rightarrow v=1\]. Thay ngược vào \[(1)\] suy ra \[u=2\]

Giải hệ

\[\begin{cases}x+y=u=2 \\ xy=v=1\end{cases}\] ta được \[x=y=1\].