Tính phương trình lượng giác

[herohighway007]

Tính 4(cos24+cos48-cos84-cos12)

 

[Toantu]

Ta có:


\[ 4(cos24+cos48-cos84-cos12)\]
\[= 4[(cos24+cos48)-(cos84+cos12)]\]
\[= 4(2cos36cos12-2cos48cos36)\]
\[= 8cos36(cos12-cos48)\]
\[= 16cos36sin30sin18\] (*)


\[cos36=sin54\]
\[\Leftrightarrow 1-2sin^218=3sin18-4sin^318\]
\[\Leftrightarrow 4sin^318-2sin^218-3sin18+1\]
\[\Leftrightarrow sin18=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\]
\[\Rightarrow cos36=\frac{1-2{sin}^{2}18}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{4}\]

Thay vào (*) được

\[ 4(cos24+cos48-cos84-cos12)=\frac{1}{2}\]