Tìm min và max của giá trị:

[conngan23]

Tìm min; max của:
a. y = cos[SUB2]2010[/SUB2]x + sin[SUB2]2010[/SUB2]x
b. y = cos[SUB2]8[/SUB2]x + sin[SUB2]8[/SUB2]x
c. \[y = \sqrt{cos x} + \sqrt{sin x}\]
d. \[y = \sqrt[3]{cos x}+ \sqrt[3]{sin x}\]

 

[ngphong]

Mình làm tạm 2 con đầu vì nó khá giống nhau
Do \[sin^2x \leq 1\] nên
\[sin^8x\leq sin^2x\]
\[cos^8x\leq cos^2x\]
\sr\[sin^8x+cos^8x \leq sin^2x+cos^2x=1\]
Vậy Max=1
Dấu ''='' xảy ra khi
\[\left { sin^8x=sin^2x\\cos^8x=cos^2x\]
Đến đây bạn tự giải nhá, nếu là mũ 2010 cũng làm tương tự thôi
Kể cả mũ n lun nhưng mà n chẵn bạn nhé:byebye:.
Còn min thì.....đợi nhé chưa có nghĩ, hì:sweat:

 

[ngphong]

Hì mỗi con nghĩ ra đc một tẹo
Con C này.
Nhớ đặt đk \[sinx \geq 0\] và \[cosx \geq 0\]
Có\[ y^2=(\sqrt {sinx} +\sqrt {cosx} )^2 \leq 2(sinx+cosx)\]. Bunhiacopxki á
\[=2 \sqrt2sin(x+\frac {\pi}{ 4}) \leq 2\sqrt2\]
Do y ko âm nên \[y \leq sqrt {2\sqrt2} \]
Dấu '=' xảy ra khi \[\left {sin(x+\frac {\pi}{ 4})=1\\\sqrt {sinx} =\sqrt {cosx} \]
Hi xong max:byebye:

 

[ngphong]

Ý cái\[ \sqrt {sinx} \geq sin ^2x\] là chắc ùi
\[\sqrt {cosx} \geq cos ^2x \]
Hì nên\[ y \geq sin ^2x+ cos ^2x=1\]
Giống 2 con đầu ý
Nên Min=1 ùi
Hem vậy là con c đã ổn thỏa

 

[kuta tutu]

a, ta thấy rằng hàm số tuần hoàn với chu kì \[T = \frac{\pi}{2}\] do đó ta chỉ cần tìm GTLN,GTNN của hàm số trên 1 chu kì là \[[0,\frac{\pi}{2}]\]

ta có \[y' = 2010sinxcosx(sin^{2008}x - cos^{2008}x) \]

\[y' = 0 <=> sinx = o\] hoặc\[ cosx = 0 \]hoặc\[ sinx = cosx \]

<=>\[ x = 0\] hoặc\[ x = \frac{\pi}{2}\] hoặc\[ x = \frac{\pi}{4} \]

lập bảng biến thiên ...........

nhìn bảng biến thiên ta suy ra :

\[max y = 1\] ( khi \[x = 0\] hoặc\[ \frac{\pi}{2}\] ) .. \[min y = (\frac{1}{2})^{1004}\]
(khi\[ x = \frac{\pi}{4}\])
câu b làm tương tự câu a

câu c,d cũng tương tự dùng đạo hàm và lập bảng biến thiên ...

 

[kuta tutu]

1 cách chứng minh khác câu a ,(câu b tương tự )

max thì = 1 rồi nhé

tìm min y :

sử dụng bất đẳng thức co-si cho bộ 1005 số hạng

khi đó ta có

\[(sin^2x)^{1005} + 1004.(\frac{1}{2})^{1005} \geq 1005^{1005}\sqrt{(sin^2x)^{1005}.[(\frac{1}{2})^{1005}]^{1004}} = \frac{1005}{2^{1004}}.sin^2x \]

tương tự

\[(cos^2x)^{1005} + 1004.(\frac{1}{2})^{1005} \geq 1005^{1005}\sqrt{(cos^2x)^{1005}.[(\frac{1}{2})^{1005}]^{1004}} = \frac{1005}{2^{1004}}.cos^2x \]

=> \[sin^{2010}x + cos^{2010}x + \frac{1004}{2^{1004}} \geq \frac{1005}{2^{1004}}(sin^2x+cos^2x) = \frac{1005}{2^{1004}}\]

=>\[ y \geq \frac{1}{2^{1004}}\]