Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

[izzi]

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ​

Cho đồ thị hàm số (C) y=(x-2)/(x+2)
viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó cắt TCN và TCD tại A và B sao cho tam giác IAB là tam giác cân tại I.I la giao điểm của 2 tiệm cận đó.

 

[NguoiDien]

cho đồ thị hàm số (C) y=(x-2)/(x+2)
viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó cắt TCN và TCD tại A và B sao cho tam giác IAB là tam giác cân tại I.I la giao điểm của 2 tiệm cận đó.

Tạm thời anh nêu hai phương pháp giải bài toàn này, em vận dụng và giải quyết bài toán nhé!

Phương pháp 1:

Gọi đường thẳng có phương trình \[y=ax+b\] là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y=\frac{x-2}{x+2}\] thì phương trình \[ax+b=\frac{x-2}{x+2}\] có nghiệm kép khác \[-2\]. Em lập được một phương trình với hai ẩn là a và b.

Mặt khác do tam giác \[ABI\] cân tại I nên em có thể tìm giao điểm của y=ax+b với các tiệm cận đứng \[x=-2\] và tiệm cận ngang \[y=1\] để đưa ra các điều kiện là các phương trình.

Giải hệ phương trình em có thể tìm ra a, b. Nói cách khác em có thể tìm được tiếp tuyến theo yêu cầu đầu bài.

Phương pháp 2:

Em dùng phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm:

\[y=y'(x_{o})(x-x_{o})+y_{o}\]

Từ đó em tìm ra tọa độ các giao điểm của tiếp tuyến với hai tiệm cận và sau đó tìm ra độ dài các đoạn thẳng \[AI, BI\] theo \[x_{o}\]. Em cho hai khoảng cách bằng nhau sẽ tìm ra \[x_{o}\]. Vậy em cũng có thể suy ra tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đầu bài.

Chú ý rằng dù em làm bằng phương pháp nào ta cũng có hai nghiệm, tức là tìm được hai tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện bài ra.

 

[Thandieu2]

Điểm thú vị của bài toán.

cho đồ thị hàm số (C) y=(x-2)/(x+2)
Viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó cắt TCN và TCD tại A và B sao cho tam giác IAB là tam giác cân tại I.I la giao điểm của 2 tiệm cận đó.

.

Đối với bài toán này, có một điểm thú vị:

Gọi điểm M là điểm thuộc (C) mà từ đó kẻ được tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A và B.

I là giao điểm của 2 đường tiệm cận.

Khi đó ta luôn có M là trung điểm của AB.

Và diện tích tam giác IAB luôn là một hằng số [ không đổi ] ( S = const)

 

[NguoiDien]

cho đồ thị hàm số (C) y=(x-2)/(x+2)
viết pttt của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó cắt TCN và TCD tại A và B sao cho tam giác IAB là tam giác cân tại I.I la giao điểm của 2 tiệm cận đó.

Hai phương pháp trên là hai phương pháp cổ điển và dài. Sau đây là phương pháp thứ ba, thường được dùng nhất trong các bài toán loại này:

Vì tam giác AIB là tam giác cân nên đường phân giác góc I đồng thời là đường cao. Ta có hai tiệm cận song song với các trục tọa độ nên phân giác góc I sẽ song song với phân giác góc phần tư thứ hai và 4 của gốc tọa độ. Do đó phân giác của góc I có hệ số góc là -1. Khi đó tiếp tuyến phải vuông góc với phân giác này nên tiếp tuyến có hệ số góc là 1.

Giải phương trình y'=1 trong bài toán này (vì y' là hệ số góc của tiếp tuyến) ta được hai nghiệm x=0 hoặc x=-4.

Đó chính là hoành độ hai tiếp điểm, với mỗi hoành độ tiếp điểm em hoàn toàn có thể viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm đó một cách dễ dàng bằng phương trình đã học ở SGK lớp 11.

 

[NguoiDien]

.

Đối với bài toán này, có một điểm thú vị:

Gọi điểm M là điểm thuộc (C) mà từ đó kẻ được tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A và B.

I là giao điểm của 2 đường tiệm cận.

Khi đó ta luôn có M là trung điểm của AB.

Và diện tích tam giác IAB luôn là một hằng số [ không đổi ] ( S = const)

Điều này của chú Thandieu2 không là điều kiện tổng quát cho mọi bài toán đâu nhé. Chỉ với bài này có chút đặc biệt đó thôi.

 

[Thandieu2]

Thì em đã ghi ở trên đó là :

Đối với bài toán này, có một điểm thú vị .

rồi mà. Hihi.
Vì sự đặc biệt của nó (tam giác IAB vuông cân nên thầy mới có được tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng y = - x, và từ đó cũng có được cái kết luận của em. Nói chung ta cần lợi dụng sự đặc biệt để làm bài toán về khảo sát, còn thường thì làm theo cách truyền thống cũng ổn..

Vì tam giác AIB là tam giác cân nên đường phân giác góc I đồng thời là đường cao. Ta có hai tiệm cận song song với các trục tọa độ nên phân giác góc I sẽ song song với phân giác góc phần tư thứ hai và 4 của gốc tọa độ. Do đó phân giác của góc I có hệ số góc là -1. Khi đó tiếp tuyến phải vuông góc với phân giác này nên tiếp tuyến có hệ số góc là 1.

Giải phương trình y'=1 trong bài toán này (vì y' là hệ số góc của tiếp tuyến) ta được hai nghiệm x=0 hoặc x=-4.

Đó chính là hoành độ hai tiếp điểm, với mỗi hoành độ tiếp điểm em hoàn toàn có thể viết phương trình tiếp tuyến tại tiếp điểm đó một cách dễ dàng bằng phương trình đã học ở SGK lớp 11.

 

[Thandieu2]

Một bài tâp khác

Dành cho các bạn có hứng chứng minh với "điều thú vị" mà Thandieu2 nêu ra:

Đề thi DHQG - TPHCM năm 1997

Cho Hypecpol (C) \[y = \frac{2x - 1}{x - 1}\] và điểm M bất kỳ thuộc (C). Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

a) Chứng minh rằng M là trung điểm của AB
b) Chứng minh rằng: diện tích tam giác IAB = const.
c) Tìm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

Đáp án.

c) M( 0; -1) hoặc M(2;3)

 

[kimanh123456]

Bài tập 1. Cho hàm số 1/2 x^3 + 3/4 x^2 - 3x - 1 có đồ thị (C).
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết
a. Tiếp tuyến đó có hệ số góc lớn nhất.