Hình 12: Bài 3: Phương trình đường thẳng

[Thandieu2]

Toán 12 - Chương III - Bài 3. Phương trình đường thẳng[/TD]​

1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M[SUB]0[/SUB](x[SUB]0[/SUB]; y[SUB]0[/SUB]; z[SUB]0[/SUB]) và có vectơ chỉ phương

(h.66). Vì

nên ta phải có .

​

Ta biết rằng điều kiện cần và đủ để điểm nằm trên đường thẳng d là vectơ

cùng phương với vectơ

, tức là có số

sao cho

. Chú ý rằng

nên điều kiện nói trên tương đương với:

Hệ phương trình (1) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng d với tham số t. Với mỗi

, hệ phương trình trên cho ta tọa độ (x; y; z) của một điểm nằm trên d.
Ngược lại, mỗi hệ phương trình dạng (1) với a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP] + c[SUP]2[/SUP] > 0 đều là phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm (x[SUB]0[/SUB]; y[SUB]0[/SUB]; z[SUB]0[/SUB]) và có vectơ chỉ phương là

.
Từ nay, để đơn giản, trong phương trình (1) ta không viết

.

1 Cho đường thẳng d có phương trình tham số:

a) Hãy tìm tọa độ của một vectơ chỉ phương của d.
b) Xác định tọa độ của các điểm thuộc d ứng với giá trị t = 0, t = 1, t = -2..
c) Trong các điểm A(3; 1; -2), B(-3; 4; 2), C(0; 2; 5; 1), điểm nào thuộc d, điểm nào không?
Xét đường thẳng d có phương trình tham số (1).
Trong trường hợp abc , bằng cách khử t từ các phương trình của hệ (1) ta được:

Hệ phương trình (2) được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng d. Ngược lại, mỗi hệ phương trình như thế đều là phương trình chính tắc của một đường thẳng hoàn toàn xác định, đó là đường thẳng đi qua điểm (x[SUB]0[/SUB]; y[SUB]0[/SUB]; z[SUB]0[/SUB]) và có một vectơ chỉ phương là

.

2 Cho hai mặt phẳng

và

có phương trình:

: 2x + 2y + z - 4 = 0

: 2x - y - z + 5 = 0
a) Hãy giải thích tại sao hai mặt phẳng

và

cắt nhau.
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng

và

. Hãy tìm tọa độ của một điểm thuộc d và xác định tọa độ của một vectơ chỉ phương của d.
c) Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d.

2. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(1; 0; -2) và (2; 1; 1).
Giải
Vectơ

là một vectơ chỉ phương của d, ngoài ra d đi qua điểm A nên d có phương trình tham số là

Ví dụ 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với
A = ( 0 ; 0 ; 2 ) , B = ( 3 ; 0 ; 5 ) , C = ( 1 ; 1 ; 0 ) , D = ( 4 ; 1 ; 2 ).
a) Viết phương trình tham số của đường cao tứ diện ABCD hạ từ D.
b) Tìm tọa độ hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC).
Giải
a) Ta có

.
Vì

nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

.
Vậy phương trình tham số của đường cao d hạ từ D của tứ diện là

b) Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến

và đi qua A(0 ; 0 ; 2) nên có phương trình là
1(x - 0) - 3(y - 0) - 1(z - 2) = 0
hay x - 3y - z + 2 = 0.
Hình chiếu H của D trên mặt phẳng (ABC) là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (ABC). Để tìm tọa độ điểm H, ta giải hệ gồm các phương trình của đường thẳng d và mp(ABC).

Thay các giá trị của x, y, z trong ba phương trình đầu vào phương trình cuối, ta có 4 + t - 3(1 - 3t) - (2 - t) + 2 = 0.
Từ đó suy ra:

Do đó

Vậy

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Trong không gian, cho đường thẳng d đi qua điểm M[SUB]0[/SUB], có vectơ chỉ phương

và đường thẳng d’ đi qua điểm M’[SUB]0[/SUB], có vectơ chỉ phương

. Dựa vào vectơ

,

và

, ta có thể biết được vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d’.

​

Cụ thể là:
a) d và d’ trùng nhau khi và chỉ khi ba vectơ

,

và

đôi một cùng phương (h.67a).
b) d // d’ khi và chỉ khi

và

cùng phương nhưng không cùng phương với

(h.67b).
c) d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi

và

không cùng phương, đồng thời ba vectơ

,

và

đồng phẳng (h.67c).
d) d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi d, d’ không đồng phẳng, hay khi và chỉ khi ba vectơ

,

và

không đồng phẳng (h.67d).
Vậy ta có:

Khi nào hai đường thẳng d và d’ nói trên vuông góc với nhau?

CHÚ Ý
Nếu biết phương trình của hai đường thẳng d và d’ thì ta cũng có thể xét vị trí tương đối giữa chúng bằng cách giải hệ gồm các phương trình xác định d và d’ để tìm giao điểm.
Nếu hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì d và d’ cắt nhau.
Nếu hệ phương trình có vô số nghiệm thì d và d’ trùng nhau.
Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì d và d’ song song hoặc chéo nhau, song song nếu hai vectơ chỉ phương của chúng cùng phương, chéo nhau nếu hai vectơ đó không cùng phương.

4. Một số bài toán về tính khoảng cách

Ta đã có các công thức để tính khoảng cách giữa hai điểm và khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. Bây giờ, ta xét khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

Bài toán 1. Tính khoảng cách h từ một điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm M[SUB]0[/SUB] và có vectơ chỉ phương

.
Cách giải

​

Gọi U là điểm sao cho

(h.68).
Nếu M

d thì diện tích S của hình bình hành có hai cạnh M[SUB]0[/SUB]M và M[SUB]0[/SUB]U là

Vì khoảng cách h cần tìm là chiều cao của hình bình hành ứng với cạnh M[SUB]0[/SUB]U nên ta có

Nếu M

d thì hiển nhiên h = 0 và công thức nói trên vẫn đúng.

3 Tính khoảng cách từ điểm M(4; -3; 2) đến đường thẳng d có phương trình

Bài toán 2. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau d[SUB]1[/SUB] và d[SUB]2[/SUB], biết d[SUB]1[/SUB] đi qua điểm M[SUB]1[/SUB] và có vectơ chỉ phương

; d[SUB]2[/SUB] đi qua điểm M[SUB]2[/SUB] và có vectơ chỉ phương

.
Cách giải (h.69)

​

Lấy các điểm U[SUB]1[/SUB] và U[SUB]2[/SUB] sao cho

. Xét hình hộp có ba cạnh là M[SUB]1[/SUB]U[SUB]1[/SUB], M[SUB]2[/SUB]U[SUB]2[/SUB], M[SUB]1[/SUB]M[SUB]2[/SUB]. Ta biết rằng thể tích V của hình hộp đó là

Nếu ta xem M[SUB]1[/SUB]M[SUB]2[/SUB] là cạnh bên của hình hộp đó thì diện tích mặt đáy của hình hộp là

Khi đó, khoảng cách h giữa hai đường thẳng d[SUB]1[/SUB] và d[SUB]2[/SUB] chính là chiều cao của hình hộp. Vậy ta có:

4 Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d[SUB]1[/SUB], d[SUB]2[/SUB] có phương trình như sau:

Câu hỏi và bài tập

​

24. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz ;
b) Các đường thẳng đi qua điểm M[SUB]0[/SUB](x[SUB]0[/SUB]; y[SUB]0[/SUB]; z[SUB]0[/SUB]) (với x[SUB]0[/SUB].y[SUB]0[/SUB].z[SUB]0[/SUB]

0 ) và song song với mỗi trục tọa độ ;
c) Đường thẳng đi qua M(2; 0; -1) và có vectơ chỉ phương

(-1; 3; 5);
d) Đường thẳng đi qua N(-2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương

(0; 0; -3);
e) Đường thẳng đi qua N(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng 2x - 5y + 4 = 0;
g) Đường thẳng đi qua hai điểm P(2; 3; -1) và Q(1; 2; 4) .

25. Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:
a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình:

b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình:

26. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

27. Cho đường thẳng

và mặt phẳng (P): x + y + z - 7 = 0.
a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).
28. Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng:

: x + y - z = 0,

: 2x - y + 2z = 0.

29. Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng sau đây:

30. Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d[SUB]1[/SUB] và cắt cả hai đường thẳng d[SUB]2[/SUB] và d[SUB]3[/SUB], biết phương trình của d[SUB]1[/SUB], d[SUB]2[/SUB] và d[SUB]3[/SUB] là:

31. Cho hai đường thẳng:

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O, song song với cả d[SUB]1[/SUB] và d[SUB]2[/SUB].
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d[SUB]1[/SUB] và d[SUB]1[/SUB].
d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
32. Cho đường thẳng d và mặt phẳng

có phương trình:

a) Tìm góc giữa d và

.
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và

.
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên

.
33. Cho đường thẳng

và mp(P) có phương trình:

a) Xác định tọa độ giao điểm A của

và (P).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qu A, nằm trong (P) và vuông góc với

.
34. a) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng

có phương trình:

b) Tính khoảng cách từ điểm N(2; 3; -1) đến đường thẳng

đi qua điểm M[SUB]0[/SUB](-0,5; 0; -0,75) và có vectơ chỉ phương

.
35. Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

SƯU TẦM

 

[HuyNam]

1.Phương trình tổng quát của đường thẳng
ĐỊNH NGHĨA:
- Vecto pháp tuyến của đường thẳng: Vectơ khác 0→ , có giá vuông góc với đường thẳng Δ gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng Δ
- Trong mặt phẳng toạ độ , mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng
ax+by+c=0, với a2+b2≠0
Ngược lại, ta có thể chứng minh được rằng: Mỗi phương trình dạng
ax+by+c=0, với a2+b2≠0
Đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận n→=(a;b) là vectơ pháp tuyến
Ví dụ : Cho tam giác có ba đỉnh A=(-1 ;-1) , B=(-1;3) , C=(2;-4) viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A
GIẢI :
Đường cao cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận BC−→− là một vectơ pháp tuyến. ta có BC−→−=(3;−7) và A=(-1 ;-1) nên theo (1) , phương trình tổng quát của đường cao đó là 3(x +1) – 7(y + 1)=0 hay 3x – 7y – 4 = 0.
CÁC DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT
GHI NHỚ 1
Đường thẳng by+c=0 song song hoặc trùng với trục Ox (hình 67a trang77)
Đường thẳng ax+c=0 song song hoặc trùng với trục Oy (hình67b trang77)
Đường thẳng ax+by=0 đi qua gốc toạ độ (hình 67c trang 77)
GHI NHỚ 2:
Đường thẳng có phương trình xa+yb=1(a≠0,b≠0) (2)
đi qua hai điểm A(a;0)&B(0;b) phương trình (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
CHÚ Ý:
Xét đường thẳng Δ có phương trình tổng quát ax+by+c=0
Nếu b≠0 thì phương trình trên đưa được về dạng
y=kx+m (3)
với k=−ab,m=−cb. Khi đó k là hệ số góc của đường thẳng và (3) gọi là phương trình của Δ theo hệ số góc.
Ý nghĩa hình học của hệ số góc