Hình 12: Bài 2: Phương trình mặt phẳng

[Thandieu2]

Toán 12- Nâng Cao - Chương III - Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
​

§2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG


1. Phương trình mặt phẳng
Vectơ

≠ 0 gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của

vuông góc với mặt phẳng (α).

Rõ ràng nếu

là vectơ pháp tuyến của mp(α) thì k

(k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của mp(α).


Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm M[SUB]o[/SUB](x[SUB]o[/SUB] ; y[SUB]o[/SUB] ; z[SUB]o[/SUB]) và có vectơ pháp tuyến

(A;B;C). Chú ý rằng vì

≠ 0 nênA[SUP]2[/SUP]+B[SUP]2[/SUP]+C[SUP]2[/SUP]>0. Khi đó, điều kiện cần và đủ để điểm M(x ; y ; z) thuộc (α) là

(h.63), hay

A(x – x[SUB]0[/SUB]) + B(y – y[SUB]0[/SUB]) + C(z – z[SUB]0[/SUB]) = 0.(1)

Hình 63


Nhận xét. Nếu ta đặt D = -(Ax[SUB]0[/SUB] + By[SUB]0­[/SUB] + Cz[SUB]0[/SUB]) thì phương trình (1) trở thành :
Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A[SUP]2[/SUP] + B[SUP]2[/SUP] + C[SUP]2[/SUP]>0. (2)

Phương trình (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) hay nói gọn là phương trình mp(α).
Như vậy, ta đễ dàng viết được phương trình mặt phẳng nếu biết tọa độ của một điểm thuộc nó và tọa độ một vectơ pháp tuyến của nó.


Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm M(0 ; 1 ; 1), N(1 ; -2 ; 0) và P(1 ; 0 ; 2).

Giải. Ta có

= (1 ; -3 ; -1) và

= (1 ; -1 ; 1). Từ đó ta tính được

. Vectơ

≠ 0 vuông góc với cả hai vectơ

,

nên

là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α). Như vậy, (α) là mặt phẳng đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến

nên có phương trình
-4(x - 0) – 2(y – 1) + 2(z - 1) = 0 hay 2x + y +z = 0. ¢

1
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1 ; -2 ; 3) và B(-5 ; 0 ; 1). Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực(P) của đoạn thẳng AB.
Như vậy, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng (2). Định lý sau đây khẳng định điều ngược lại.


ĐỊNH LÍ
Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình
Ax + By + Cz + D = 0 với A[SUP]2[/SUP] + B[SUP]2[/SUP] + C[SUP]2[/SUP]>0
đều là phương trình của một mặt phẳng xác định.



2 (để chứng minh định lí).
Lấy một nghiệm (x[SUB]0[/SUB] ;y[SUB]0 ;[/SUB] z[SUB]0[/SUB]) và vectơ pháp tuyến là

(A ; B ; C). Hãy viết phương trình của (P) để thấy rằng nó tương đương với phương trình (2).


2. Các trường hợp riêng

Chúng ta hãy xét một số trường hợp riêng của phương trình mặt phẳng và nói rõ trong mỗi trường hợp đó, mặt phẳng có đặc điểm gì .


3
Trong không gian Oxyz, xét mặt phẳng (α) có phương trình :
Ax + By + Cz + D = 0
Hãy giải thích vì sao ta có các khẳng đình sau đây :
a) Mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O khi và chỉ khi D = 0.

b) Mặt phẳng (α) song song (hoặc chứa) trục tọa độ Ox khi và chỉ khi A = 0.
Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = 0 và trường hợp C = 0.

c) Mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với mặt phẳng (Oxy) khi và chỉ khi A = B = 0.
Hãy phát biểu kết luận tương tự cho trường hợp B = C = 0 và trường hợp C = A = 0.

Sau đây ta xét trường hợp mặt phẳng có phương trình
Ax + By + Cz + D = 0 với cac hệ số A, B, C, D đều khác 0.
Khi đó bằng cách đặt

, ta đưa phương trình trên về dạnh

Rõ ràng mặt phẳng có phương trình(3) cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm M(a ; 0 ; 0), N(0 ; b ; 0) và P(0 ; 0 ; c). Độ dài đại số của các vectơ

trên các trục tọa độ chứa chúng lần lượt là

. Bởi vậy phương trình (3) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.


Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M = (30 ; 15 ; 6).

a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua các hình chiếu của M trên các trục tọa độ.
b) Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm O trên mp(α).


Giải
a) Các hình chiếu của M trên các trục tọa độ là các điểm (30 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) và (0 ; 0 ; 6). Phương trình mp(α) đi qua ba điểm đó là

b) Điểm H nằm trên mặt phẳng (α) và

cùng phương với vectơ pháp tuyến

(1 ; 2 ; 5) của (α), tức là

. Bởi vậy, nếu gọi (x, y, z) là tọa độ của H thì

Bằng cách thay các giá trị x, y, z từ ba phương trình cuối vào phương trình đầu, ta được t + 4t + 25t – 30 = 0. Từ đó ta tìm được t = 1 và do đó H = (1 ; 2 ; 5).¢


3. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Hai bộ số tỉ lệ
Xét các bộ n số (x[SUB]1[/SUB] ; x[SUB]2[/SUB] ; … ; x[SUB]n[/SUB]) (n>2), trong đó các số x[SUB]1[/SUB], x[SUB]2[/SUB], …, x[SUB]n[/SUB] không đồng thời bằng 0.
• Hai bộ số (A[SUB]1[/SUB] ; A[SUB]2[/SUB] ; … ; A[SUB]n[/SUB]) và (B[SUB]1[/SUB] ; B[SUB]2[/SUB] ; … ; B[SUB]n[/SUB]) như thế được gọi là tỉ lệ với nhau (hay tỉ lệ) nếu có một số t sao cho A[SUB]1 [/SUB]= tB[SUB]1[/SUB], A[SUB]2 [/SUB]= tB[SUB]2[/SUB],…,A[SUB]n [/SUB]= tB[SUB]n[/SUB].
Khi đó ta viết

Theo định nghĩa đó, ta có

• Khi hai bộ số (A[SUB]1[/SUB] ; A[SUB]2[/SUB] ;… ; A[SUB]n[/SUB]) và (B[SUB]1[/SUB] ; B[SUB]2[/SUB] ;… ; B[SUB]n[/SUB]) không tỉ lệ , ta viết
A[SUB]1[/SUB] : A[SUB]2[/SUB] : … : A[SUB]n[/SUB]≠B[SUB]1[/SUB] : B[SUB]2[/SUB] : … : B[SUB]n[/SUB] .


Ví dụ : 1 : 5 : -2 : 4 ≠ 1 : -2 : 5 : 4,
1 : 0 : 1 : 2≠ 1 : 1 : 1 : 2.
• Ta hãy xét trường hợp hai bộ số (A[SUB]1[/SUB] ; A[SUB]2[/SUB] ;… ; A[SUB]n[/SUB]) và (B[SUB]1[/SUB] ; B[SUB]2[/SUB] ;… ; B[SUB]n[/SUB]) tỉ lệ, nhưng hai bộ số (A[SUB]1[/SUB] ; A[SUB]2[/SUB] ;… ; A[SUB]n ;[/SUB]A[SUB]n+1[/SUB]) và (B[SUB]1[/SUB] ; B[SUB]2[/SUB] ;… ; B[SUB]n[/SUB] ; B[SUB]n+1[/SUB]) không tỉ lệ. Điều đó có nghĩa là : có số t sao cho A[SUB]1[/SUB] = tB[SUB]1[/SUB], A[SUB]2[/SUB] = tB[SUB]2[/SUB],…, A[SUB]n[/SUB] = tB[SUB]n[/SUB] nhưng A[SUB]n+1[/SUB] ≠tB[SUB]n+1[/SUB] . Trong trường hợp đó, ta viết :

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (α)và (α') lần lượt có phương trình :
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
(α') : A'x + B'y + C'z + D’ = 0 ;
Chúng lần lượt có vectơ pháp tuyến là

(A ; B ; C) và

(A' ; B' ; C').


?1 Nếu A : B : C ≠ A' : B' : C' thì ta có thể nói gì về hai vectơ

(A ; B ; C) và

(A' ; B' ; C') và do đó nói gì về vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (α)và (α') ?

Bây giờ xét trường hợp A : B : C =A' : B' : C' hay

.


4
Hãy xét vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (α)và (α') trong mỗi trường hợp sau :

Tóm lại ta có :
Cho hai mặt phẳng (α)và (α') lần lượt có phương trình :
(α) : Ax + By + Cz + D = 0
(α') : A'x + B'y + C'z + D’ = 0.
a) Hai mặt phẳng đó cắt nhau khi và chỉ khi A : B : C ≠ A' : B' : C' .
b) Hai mặt phẳng đó song song khi và chỉ khi

c) Hai mặt phẳng đó trùng nhau khi và chỉ khi

?2 Hai mặt phẳng (α)và (α') nói trên vuông góc với nhau khi nào ?


5
Cho hai mặt phẳng (α) : 2x – my + 10z + m +1 = 0
(β) : x – 2y + (3m +1)z – 10 = 0.
Hãy tìm giá trì của m để :
a) Hai mặt phẳng đó song song ;
b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau ;
c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau ;
d) Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.


4. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm M[SUB]o[/SUB](x[SUB]o[/SUB] ; y[SUB]o[/SUB] ; z[SUB]o[/SUB]) và mặt phẳng (α) có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0. Hoàn toàn tương tự như công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng trong hình học phẳng, ta có công thức sau đây về khoảng cách d(M[SUB]o[/SUB],( α)) từ điểmM[SUB]o[/SUB] tới mp(α) :

6
Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là :
3x – y + 2z – 6 = 0 và 6x – 2 y + 4z + 4 = 0.


Ví dụ 3. Cho tứ diện OABCD có ba cạnh OA = a, OB = b, OC = c. Tính độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ O.


Giải
Vì ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên ta có thể chọn hệ tọa độ có gốc là O và có A = (a ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) (h.64).

Hình 64


Khi đó mp(ABC) có phương trình theo đoạn chắn là

Chiều cao h cần tìm là khoảng cách từ điểm O tới mp(ABC) nên

Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Trên các cạnh AA', BC, C'D' lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CN = D'P = t, với 0 < t < a. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mp(ACD') và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.


Giải
Chọn hệ tọa độ Oxyz, có gốc O trùng với D, các trục Ox, Oy, Oz lần lượt đi qua A, C', D' như ở hình 65.

Hình 65



Khi đó :
A = (a ; 0 ; 0), C = (0 ; a ; 0), D' = (0 ; 0 ; a),
M = (a ; 0 ; t), N = (t ; a ; 0), P = (0 ; t ; a).


Phương trình theo đoạn chắn của mp(ACD') là :

Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là

= (1 ; 1 ; 1).
Mặt khác, mp(MNP) có vectơ pháp tuyến là

.
Ta có

.
Từ đó ta tìm được tọa độ của vectơ

là

= (a[SUP]2[/SUP] + t[SUP]2[/SUP] – at ; a[SUP]2[/SUP] + t[SUP]2[/SUP] – at ; a[SUP]2[/SUP] + t[SUP]2[/SUP] - at).

Bởi vậy hai vectơ

và

cùng phương ; ngoài ra dễ thấy điểm M không nằm trên mp(ACD') ; do đó mp(MNP) // mp(ACD').

Khoảng cách d giữa hai mặt phẳng đó bằng khoảng cách từ điểm M của mp(MNP) tới mp(ACD') nên ta có

Câu hỏi và bài tập


15. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng :
a) Đi qua ba điểm M(2 ; 0 ; -1), N(1 ; -2 ; 3), P(0 ; 1 ; 2) ;
b) Đi qua hai điểm A(1 ; 1 ; -1), B(5 ; 2 ; 1) và song song với trục Oz ;
c) Đi qua hai điểm (3 ; 2 ; -1) và song song với mặt phẳng có phương trình x – 5y + z = 0 ;
d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(-1 ; 0 ; 2) và vuồn góc với mặt phẳng x – y + z + 1 = 0 ;
e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với abc ≠ 0) và song song với một mặt phẳng tọa độ ;
g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A ; B ; C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;
h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.


16. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình sau :
a) x + 2y – z + 5 = 0và 2x + 3y – 7z - 4 = 0 ;
b) x + 2y – z - 3 = 0và 2x - y + 4z - 2 = 0 ;
c) x + y + z - 1 = 0và 2x + 2y +2z + 3 = 0 ;
d) 3x - 2y + 3z + 5 = 0và 9x - 6y – 9z - 5 = 0 ;
e) x - y + 2z - 4 = 0và 10x - 10y + 20z - 40 = 0 .


17. Xác định giá trị của m và n để mỗi cặp mặt phẳng sau đây song song :
a) 2x + my + 2z +3 = 0và mx + 2y – 4z + 7 = 0 ;
b) 2x + y + mz - 2 = 0và x + n y + 2z + 8 = 0 .


18. Cho hai mặt phẳng có phương trình là
2x – my + 3z – 6 + m = 0
và(m + 3)x – 2y + (5m + 1)z – 10 = 0.
Với giá trì nào của m thì :
a) Hai mặt phẳng đó song song ;
b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau ;
c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau ;
d) Hai mặt phẳng đó vuông góc ?


19. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng (α) và (α) trong mỗi trường hợp sau :
a) (α) : 2x – y + 4z + 5 = 0, (α’) : 3x + 5y – z – 1 = 0 ;
b) (α) : 2x + y - 2z - 1 = 0, (α’) : 6x - 3y + 2z – 2 = 0 ;
c) (α) : x + 2y + z - 1 = 0, (α’) : x + 2y + z + 5 = 0 ;


20. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Ax + By + Cz + D = 0 và Ax + By + Cz + D' = 0
với D ≠ D'.


21. Tìm điểm M trên trục Oz trong mỗi trường hợp sau :
a) M cách đều điểm A(2 ; 3 ; 4) và mặt phẳng 2x + 3y + z - 17 = 0 ;
b) M cách đều hai mặt phẳng x + y - z + 1 = 0 và x - y + z + 5 = 0.


22. Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Bằng phương pháp tọa độ, hãy chứng minh :
a) Tam giác ABC có ba góc nhọn ;
b) cos[SUP]2[/SUP]α + cos[SUP]2[/SUP]β + cos[SUP]2[/SUP]γ = 1.


23. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y – 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình :
x[SUP]2[/SUP] + y[SUP]2[/SUP]+ z[SUP]2[/SUP] – 2x – 4y - 6z – 2 = 0.


Nguồn: SƯU TẦM