Giúp mình giải toán ôn thi hsg với!

[bomkute1996th]

Cả nhà giúp mình nhé (Sẽ được tks đó )
1. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) \[ (x^2 - x + 1)(x^2 - x + 2) - 12 \]
b) \[ (x^2 + x)^2 + 4(x^2 + x) - 12 \]

a.Đặt \[{x}^{2}-x+1=t\]

Đa thức trở thành \[t(t+1)-12\]

\[={t}^{2}+t-12\]

\[=(t-3)(t+4)\]

b.Đặt \[{x}^{2}+x=t\]

Đa thức trở thành:\[{t}^{2}+4t-12\]

\[=(t-2)(t+6)\]

 

[Võ Long Trường]

2. BIết số \[ 7^{17} + 17.3 -1 \] chia hết cho 9. Hỏi số \[ 7^{18} + 18.3 - 1 \] có chia hết cho 9 không ?

Ta có số 18.3 chia hết cho 9.

Xét số \[{7}^{18}-1={\left({7}^{3} \right)}^{6}-1={\left(343 \right)}^{6}-1={\left(342+1 \right)}^{6}-1={\left(BS9+1 \right)}^{6}-1=BS9+{1}^{6}-1=BS9\] chia hết cho 9.

Vậy số \[{7}^{18}+18.3-1\] chia hết cho 9.

*Trong đó: BS9 là bội số của 9.

 

[Aquarius]

ta có : \[ {7}^{18} +18*3-1 \]
\[7 \equiv -2 \Rightarrow {7}^{3}= -8 \equiv 1\]
\[\Rightarrow {7}^{15} \equiv 1\]
\[\Rightarrow {7}^{18} \equiv {7}^{3} \]
\[\Rightarrow {7}^{18} +18*3-1 =396 \equiv 0\]
\[ \Rightarrow {7}^{18} +18*3-1\] chia hết cho 9

 

[ngocthao_lion]

ta có : \[{7}^{18}+18*3-1\]
\[7\equiv -2\Rightarrow {7}^{3}=-8\equiv 1\]
\[\Rightarrow {7}^{15}\equiv 1\Rightarrow {7}^{18}\equiv {7}^{3}\]
\[\Rightarrow {7}^{18}+18*3-1=396\equiv 0\]
\[\Rightarrow {7}^{18}+18*3-1\]chia hết cho 9

----------------------------------------------

 

[Aquarius]

Vì đa thức chia là x^2-1 có bậc 2 nên đa thức dư là đa thức bậc nhất và r(x)=ax+b
Gọi thương của phép chia là đa thức p(x) ta có
x^54+x^45+x^36+....+x^9+1=(x-1)(x+1)*p(x)+ax+b (1)
đẳng thức (1) đúng với mọi x. cho x lần lượt nhận giá trị là x = 1 và x = -1 ta có
a + b =7
-a + b =1 ( 2 dòng này dùng dấu và)
giải ra ta được a = 3, b = 4
vậy đa thức dư là 3x+4
có chỗ nào sai thì bảo tớ!

 

[light_future96]

Các bạn giúp mình tiếp nhé, tks nhiều!
3. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a. \[ (a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15 \]

Ta có
\[(a+1)(a+7)(a+3)(a+5)+15\]
\[=(a^2+8a+7)(a^2+8a+15)+15 \]
\[=(a^2+8a+11)^2-16+15\]
\[=(a^2+8a+11)^2-1\]
\[=(a^2+8a+11-1)(a^2+8a+11+1)\]
\[=(a^2+8a+10)(a+2)(a+6)\]

 

[ngocthao_lion]

Giúp mình nhé! Mình sẽ tks
1. Cho \[\triangle \ \mathit{ABC}\] vuông tại A; đường phân giác AD. Vẽ DH vuông góc với AB. Đặt DH = d, AB = c, AC = b. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}\]
2. Cho \[\triangle \ \mathit{ABC} (AB < AC), M \in BC\]. Vẽ BI vuông góc với AM, CK vuông góc với AM. Xác định vị trí của M để tổng BI + CK nhỏ nhất.

 

[light_future96]

Giúp mình nhé! Mình sẽ tks
1. Cho \[\triangle \ \mathit{ABC}\] vuông tại A; đường phân giác AD. Vẽ DH vuông góc với AB. Đặt DH = d, AB = c, AC = b. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{d}\]

Vì DH song song với AC(cùng vuông góc với AB) nên áp dụng định lí Ta-let trong \[\Delta \]ABC ta có
\[\frac{DH}{AC}=\frac{BH}{AB}\]
\[\Rightarrow \frac{d}{b}=\frac{BH}{AB}(1)\]
Vì AD là đường phân giác của BAC nên DAC= HAD =45[độ
\[\Rightarrow \Delta ADH\] vuuong cân
\[\Rightarrow AH = DH =d\]
\[\Rightarrow \frac{d}{c}=\frac{AH}{AB}(2)\]
cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
\[\frac{d}{b}+\frac{d}{c}=\frac{AH+BH}{c}=1\]
\[\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d}\]

 

[light_future96]

Giúp mình nhé! Mình sẽ tks
2. Cho \[\triangle \ \mathit{ABC} (AB < AC), M \in BC\]. Vẽ BI vuông góc với AM, CK vuông góc với AM. Xác định vị trí của M để tổng BI + CK nhỏ nhất.

Vì \[BI \perp AM\] nên theo tính chất của đường xiên và hình chiếu ta có
\[BI\leq AM\]
Tươg tự : \[CK\leq CM\]
\[\Rightarrow (BI+CK)\leq AM+CM = BC\]
\[\Rightarrow max(BI+CM) = BC \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} BI\perp AM & \\ CI\perp AM & \end{matrix}\right.\]
\[\Leftrightarrow AM\perp BC \Leftrightarrow\] M là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC

 

[Aquarius]

1.cách khác
kẻ đường vuông góc từ D có DI vuông góc AC
xét tam giác HAD và tam giác IAD ta có
góc DHA= góc DIA =90*
chung cạnh AD
gócA1=gócA2(gt)
vậy tam giác HAD = tam giác IAD(cạnh huyền góc nhọn)
=> HD=DI(cạnh tương ứng) (1)
lại có: SBDA+SDAC=SABC
mà SBDA=DH*AB/2 (2)
SDAC=DI*AC/2 (3)
SABC=AB*AC/2 (4)
từ (2), (3), (4) => DH*AB + DI*AC = AB*AC
từ (1) => DH*AB + HD*AC = AB*AC
thay HD =d , AB = c , AC = b ta có
bd + dc = bc
giả sử 1/b+1/c=1/d <=> dc/bcd + bd/bcd = bc/bcd
=> cd + bc = bc
=>dpcm

 

[ngocthao_lion]

Vì DH song song với AC(cùng vuông góc với AB) nên áp dụng định lí Ta-let trong \[\Delta \]ABC ta có
\[\frac{DH}{AB}=\frac{BH}{AC}\]
\[\Rightarrow \frac{d}{b}=\frac{BH}{AC}(1)\]
Vì AD là đường phân giác của BAC nên DAC= HAC =45[độ
\[\Rightarrow \Delta ADH\] vuuong cân
\[\Rightarrow AH = DH =d\]
\[\Rightarrow \frac{d}{c}=\frac{AH}{AC}(2)\] *
cộng vế với vế của (1) và (2) ta được
\[\frac{d}{b}+\frac{d}{c}=\frac{AH+CH}{c}=1\] *
\[\Rightarrow \frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{d}\]

Những phần đánh * là những phần e ko hiểu. Chị có thể giải thích cho e đk ko ạk? Tks chị nhìu nhìu

 

[Aquarius]

kẻ AH vuông góc vs BC
ta có SABC=SABM + SAMC = 1/2AM(BI+CK)
hay AM(BI+CK)=2SABC ko đổi nên
BI + CK nhỏ nhất <=> AM lớn nhất
<=> AM lơn nhất và bằng AC; M trùng vs C, khi đó BI + CK = độ dài đường cao hạ từ đỉnh B xuống AC

 

[pemuangocnghek]

Gợi ý bạn câu 3 nhé
Đặt a-4= b thì bt sẽ thành (b-3)(b+3)(b-1)(b+1)+15=(b^2-9)(b^2-1)+15
Đặt tiếp b^2-5=c ->(c-4)(c+4)+15=c^2-1=(c-1)(c+1)
Thay ngược c,b,a trở lại. Thôi bạn làm tiếp đi

sao đặt nhiu ẩn thế bạn
A=(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15 = (a^2 +8a +7 ) ( a^2 + 8a + 15) + 15
đặt x= a^2 + 8a + 7
=> A= x. (x+8) + 15= x^2 + 8x +15= (x+3 ) (x+5)
thay lại x=a^2 + 8x +7 ta có
A=(a^2 + 8x +10)( a^2 +8x +12)= (a^2 +8x + 10)(a+6)(a+2)