Giúp 1 số bài toán logarit !

[ChipsMunk]

2)\[log_{5} (5^{\frac{1}{x}}+125)=log_{5} 6 + 1 + \frac{1}{2x}\]
3)\[log(3^{x}-2^{4-x})=2+ \frac{1}{4}log16 -\frac{3}{2}log4\]
4)\[log2 + log(4^{x-2}+9)=1+log(2^{x-2}+1)\]
5)\[x^{logx}=1000x^{2}\]
6)\[\sqrt{x^{log\sqrt{x}}}=10\]
7)\[x^{log_{\sqrt{x}}2x}=4\]
8)\[2.9^{log_{2}\frac{x}{2}}=x^{log_{2}6}-x^{2}\]

 

[proboyvip1995]

Mình chỉ biến đổi giúp long về đến cơ bản long tự giải nhé

\[log(3^{x}-2^{4-x})=2+\frac{1}{4}log16-\frac{3}{2}log4\]
\[<=>log^(3^{x}-2^{4-x})=2+log2-3log2\]
\[<=>log^(3^{x}-2^{4-x})=2log5\]
\[<=>3^{x}-2^{4-x}=5^{2}\]
\[<=>3^{x}-\frac{16}{2^{x}}=25\]

\[log2+log(4^{x-2}+9)=1+log(2^{x-2}+1)\]
\[log(4^{x-2}+9)-log(2^{x-2}+1)=log10-log2\]
\[\frac{4^{x-2}+9}{2^{x-2}+1}=5\]
Đặt\[2^{x-2}=t >0.\]
\[t^{2}+9=5(t+1)\].

Bình phương 2 vế:
\[<=>x^{log\sqrt{x}}=100\]
dự đoán nghiệm x = 0,01.
sử dụng pp hàm số để chứng minh.


P/s: mệt wa nếu ko cần gấp để 1 2 hum nữa t làm tiếp cho.

 

[uocmo_kchodoi]

Câu 1. ĐK. x>-1

(Coi phương trình bậc 2 ẩn log... ,có delta đẹp.}
TH1. \[log_{3}\left(x+1 \right)=-4\Leftrightarrow x=\frac{-80}{81} \left(TM \right)\]
TH2. \[log_{3}\left(x+1 \right)=\frac{4}{x+2}=t\]
\[\Rightarrow \frac{4}{t}=3^{t}+1 \left(1 \right)\]
Nhận thấy. \[f\left(t \right)=\frac{4}{t}\] nghịch biến và \[g\left(t \right)=3^{t}+1\] đồng biến nên
\[\left(1 \right)\] có nhiều nhất 1 nghiệm. Mặt khác t=1 là 1 nghiệm của (1). => t=1 là nghiệm duy nhất.
Với t=1 thì x=2 (thỏa mãn).

Câu 2.ĐK. x#0
Với đk trên phương trình
\[\Leftrightarrow log_{5}\left(\frac{5^{\frac{1}{x}}+125}{5.6} \right)=\frac{1}{2x}\]
\[\Leftrightarrow 5^{\frac{1}{x}}+125=30.5^{\frac{1}{2x}}\]
\[\Leftrightarrow \left(5^{\frac{1}{2x}} \right)^{2}-30.5^{\frac{1}{2x}}+125=0\]
\[\Leftrightarrow 5^{\frac{1}{2x}}=5\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\] hoặc \[\Leftrightarrow 5^{\frac{1}{2x}}=25\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\]

Câu 3. ĐK. \[3^{x}>2^{4-x}\Leftrightarrow x>log_{6}16\]
\[\Leftrightarrow 3^{x}-2^{4-x}=25\Leftrightarrow 1=\frac{25}{3^{x}}+\frac{16}{2^{x}}\left(1 \right)\]
Hàm \[f\left(x \right)=\frac{25}{3^{x}}+\frac{16}{2^{x}}\] nghịch biến nên (1) có nhiều nhất 1 nghiệm. Nhận thấy x=3 là 1 nghiệm nên x=3 là nghiệm duy nhất. KL...

Câu 4.
\[log2+log\left(4^{x-2}+9 \right)=log10+log\left(2^{x-2}+1 \right)\]
\[\Leftrightarrow log\left[\frac{2.\left(4^{x-2}+9 \right)}{10.\left(2^{x-2}+1 \right)} \right]=0\]
\[\Leftrightarrow \frac{4^{x-2}+9}{5.\left(2^{x-2}+1 \right)}=1\]
\[\Leftrightarrow 2^{x-2}=1\Leftrightarrow x=2\] hoặc \[\Leftrightarrow 2^{x-2}=4\Leftrightarrow x=4\]

Câu 5. ĐK. x>0
Đặt \[logx=a\Rightarrow x=10^{a}\]
Ta có. \[10^{a^{2}}=1000.10^{2a}=10^{2a+3}\Leftrightarrow a^{2}=2a+3\Leftrightarrow a=3\] hoặc \[a=-1\]
=> X=....

Câu 6. ĐK. x>0
Với đk trên đặt

\[\begin{cases}\sqrt{x}=a\\log\sqrt{x}=b\end{cases}\]

Khi này ta có hệ. \[\begin{cases}a=10^{b}\\loga^{2b}=10^{2}\end{cases}\]
\[\begin{cases}a=10^{b}\\10^{2b^{2}}=10^{2}\end{cases}\]
Tìm đc b=1 hoặc b=-1.
Từ đó tìm được x.

Câu7. ĐK. x>0 và x#1.
Với đk trên phương trình \[\Leftrightarrow x^{2log_{x}2x}=4\Leftrightarrow x^{2+log_{x}4}=4\Leftrightarrow x^{2}=1.\]
phương trình vô nghiệm.

Câu 8. ĐK. X>0
Với đk trên phương trình
\[\Leftrightarrow 2.9^{\left(log_{2}\frac{1}{2}+log_{2}x \right)}=x^{log_{2}6}-x^{2}\]
\[\Leftrightarrow 2.9^{log_{2}x}=9.x^{log_{2}6}-x^{2}\]
Đặt \[log_{2}x=a\Rightarrow x=2^{a}\]
Khi này phương tình trở thành.
\[2.9^{a}=9.2^{a.log_{2}6}-9.2^{2a}\]
\[\Leftrightarrow 2.9^{a}=9.2^{a}.3^{a}-9.2^{2a}\Leftrightarrow \frac{1}{2}.\left(\frac{2}{3} \right)^{2a}-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3} \right)^{a}+\frac{1}{9}=0\]
\[\Leftrightarrow \left(\frac{2}{3} \right)^{a}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow a=1\]
hoặc \[\Leftrightarrow \left(\frac{2}{3} \right)^{a}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\left(\frac{2}{3} \right)^{a-1}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow a=log_{\frac{2}{3}}\frac{1}{3}\]
Với mỗi TH ta tìm đc x.