Cực trị của hàm hợp

[Áo Dài]

Bài toán về hàm hợp có rất nhiều dạng: khảo sát sự biến thiên ( đồng nghịch biến ), tìm cực trị và tiệm cận. Trước hết, chúng ta cần có những kiến thức cơ bản về hàm số và sự biến thiên. Sau đó, từng bước tiếp cận tới từng dạng bài cơ bản, nắm chắc phương pháp và giải nhiều bài tập. Cần hiểu rõ bản chất của vấn đề, sự biến thiên của hàm số, phân biệt rõ ràng các khái niệm về hàm số. Từ đó làm các dạng về hàm hợp.

Sau đây, là một dạng về hàm hợp: cực trị

1. Phương pháp giải

a. Kiến thức cần nhớ

- Đạo hàm của hàm hợp:
[f(u(x))]' = u'(x).f'(u(x))

- Tính chất đổi dấu của biểu thức:

Gọi x = α là một nghiệm của phương trình: f(x) = 0. Khi đó

+) Nếu x = α là nghiệm bội bậc chẵn ((x - α)2,(x - α)4,...) thì hàm số y = f(x) không đổi dấu khi đi qua α.

+) Nếu x = α là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ ((x - α),(x - α)3,...) thì hàm số y = f(x) đổi dấu khi đi qua α.

b. Phương pháp

Đề tìm cực trị của hàm số y = f(u(x)) ta làm như sau:

- Bước 1: Tính [f(u(x))]'

- Bước 2: Giải phương trình [f(u(x))]' = 0 dựa vào đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f(x)

- Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

- Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f(x). Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình bên.

Tìm số điểm cực trị của hàm số g(x) = f(x2 - 3).
A. 2.
B. 3
C. 4.
D. 5.

Lời giải
Chọn B

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'(x) như sau

Hỏi hàm số g(x) = f(x2 - 2x) có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.

Lời giải
Chọn A

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ sau.

Số điểm cực trị của hàm số y = f(x) + 2x là:
A. 4.
B. 1.
C. 3.
D. 2.

Lời giải
Chọn B

Dựa vào đồ thị ta có: Trên (-∞;-1) thì f'(x) > -2 ⇔ f'(x) + 2 > 0.
Trên (-1;x0) thì f'(x) > -2 ⇔ f'(x) + 2 > 0.
Trên (x0;+∞) thì f'(x) < -2 ⇔ f'(x) + 2 < 0.
Bảng biến thiên của hàm g(x)

Vậy hàm số g(x) = f(x) + 2x có 1 cực trị