• HÃY CÙNG TẠO & THẢO LUẬN CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC [Vn Kiến Thức] - Định hướng VnKienthuc.com
    -
    Mọi kiến thức & Thông tin trên VnKienthuc chỉ mang tính chất tham khảo, Diễn đàn không chịu bất kỳ trách nhiệm liên quan
    - VnKienthuc tạm khóa đăng ký tài khoản tự động để hạn chế SEO bẩn, SPAM, quảng cáo. Chưa đăng ký, KHÁCH vẫn có thể đọc và bình luận.

Chứng minh công thức nhị thức Newton

kastryas

Member
Xu
0
Tôi mở thread này hy vọng có được sự đóng góp của các GV và hs quan tâm ... Công thức khai triển nhị thức Newton là 1 đẳng thức đẹp và nhiều người nghĩ nó đơn giản (xét về mặt giải tích). Nhưng tôi ko có cho là thế ...


Nhắc lại công thức cần chứng minh:


\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\]

Quý zị xuất chiêu đi nào .. MỜI!!!
 

kastryas

Member
Xu
0
Tôi mở thread này hy vọng có được sự đóng góp của các GV và hs quan tâm ... Công thức khai triển nhị thức Newton là 1 đẳng thức đẹp và nhiều người nghĩ nó đơn giản (xét về mặt giải tích). Nhưng tôi ko có cho là thế ...


Nhắc lại công thức cần chứng minh:


\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\]

Quý zị xuất chiêu đi nào .. MỜI!!!

Chẳng đồng chý nào quan tâm đến chủ đề này của mình sao :(
 

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
Tôi mở thread này hy vọng có được sự đóng góp của các GV và hs quan tâm ... Công thức khai triển nhị thức Newton là 1 đẳng thức đẹp và nhiều người nghĩ nó đơn giản (xét về mặt giải tích). Nhưng tôi ko có cho là thế ...


Nhắc lại công thức cần chứng minh:


\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\]

Quý zị xuất chiêu đi nào .. MỜI!!!

Có một đồng chí quan tâm nhưng hiện đang bận, nếu có thể tối nay sẽ post bài chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học với công thức nhị thức Newton tổng quát. Ok!
 

kastryas

Member
Xu
0
Có một đồng chí quan tâm nhưng hiện đang bận, nếu có thể tối nay sẽ post bài chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học với công thức nhị thức Newton tổng quát. Ok!

Cám ơn bạn đã tham gia! bạn cm bằng quy nạp trc đi sau đó tôi xin trình bày 2 phép CM khác bằng phép đếm và xác suất.
 

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
Chứng minh:

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}a^{n-i}b^i=C_{n}^{0}a^n+C_{n}^1a^{n-1}b+.....+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}\]

Với \[n=2\] ta có:

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2=C_{2}^{0}a^2+C_{2}^{1}ab+C_{2}^{2}b^2\] nên công thức đúng.

Giả sử công thức đúng với \[n=k \quad (k\geq 2)\] tức là:

\[(a+b)^k=C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+....+C_{k}^{1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k}\]

Ta chứng minh công thức đúng với \[n=k+1\].

Thật vậy ta có:

\[(a+b)^{k+1}=(a+b)^{k}.(a+b)\]

Áp dụng giả thiết quy nạp ta có:

\[(a+b)^{k}.(a+b)=\left( C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+....+C_{k}^{1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k}\right) (a+b)\]

\[=\left( C_{k}^{0}a^{k+1}+C_{k}^{1}a^{k}b+....+C_{k}^{1}a^2b^{k-1}+C_{k}^{k}ab^{k}\right)+\left( C_{k}^{0}a^{k}b+C_{k}^{1}a^{k-1}b^2+....+C_{k}^{1}ab^{k}+C_{k}^{k}b^{k+1}\right)\]

\[=C_{k}^{0}a^{k+1}+\left( C_{k}^{0}+C_{k}^{1}\right) a^{k}b+...+\left( C_{k}^{k-1}+C_{k}^{k}ab^{k}+C_{k}^{0}b^{k+1}\]

Áp dụng công thức tính chất của tổ hợp: \[C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}\] và chú ý rằng \[C_{n}^{0}=C_{m}^{0}=1\] với mọi \[m,n\in N^{*}\] ta được công thức cần chứng minh

Áp dụng công thức tổng quát này với trường hợp \[(1+x)^{n}\] ta được công thức của bạn kastryas

Xin chân thành cám ơn sự góp sức của kastryas. Mình hi vọng chúng ta tiếp tục cùng trao đổi và nghiên cứu sâu hơn về những kiến thức của bộ môn Toán. Chúng ta sẽ cùng trao đổi để mỗi người có thể thu lượm thêm những kiến thức dành cho mình.
 

kastryas

Member
Xu
0
Cám ơn bạn ... (xin lỗi vì tôi ko biết tên bạn :D)!

Đây là cách CM của tôi bằng phép đếm:

Xét \[(x+1)^n=\underbrace{(x+1).(x+1)...(x+1)}_{n}\] khi khai triển ra đa thức để tạo ra \[x^k=\underbrace{xx...x}_{k}\] ta cần chọn ra đúng k số x trong n nhân tử trên. Mỗi lần nhân phân phối như vậy tạo ra đúng 1 \[x^k\] do vậy số các \[x^k\] sau khi nhân ra là số cách chọn k phần tử (k số x) trong n phần tử số cách chọn như thế chính là \[C^k_n\] từ đó có đpcm!

ps: về bản chất công thức \[(x+1)^n=\sum_{k=0}^nC^k_nx^k\] (1) ko hề kém tính tổng quát hơn công thức \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^kb^{n-k}\] (2) vì nếu muốn từ (1) mà có (2) thì chỉ cần thay \[x=\frac{a}{b}\] vào (1).
 

rockmyheart

New member
Xu
0
Giả sử công thức đúng với n=k (k>=2)

Tôi vừa mới học phương pháp quy nạp toán học xong, cảm ơn bạn về bài giải. Nhưng ở trên bạn đã chứng minh nhị thức này đúng với n=2 vậy tôi nghĩ ở vế sau điều kiện của k chỉ cần là k>=3 là được.

Nhị thức Newton cũng đúng với cả n=1 vậy thì ban đầu bạn phải chứng minh với n=1 chứ.
 

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
Tôi vừa mới học phương pháp quy nạp toán học xong, cảm ơn bạn về bài giải. Nhưng ở trên bạn đã chứng minh nhị thức này đúng với n=2 vậy tôi nghĩ ở vế sau điều kiện của k chỉ cần là k>=3 là được.

Nhị thức Newton cũng đúng với cả n=1 vậy thì ban đầu bạn phải chứng minh với n=1 chứ.

Nếu làm một bài toán mang tính chặt chẽ thì bài toán này xét \[\forall n\in N^{*}\]. Tuy nhiên trường hợp \[n=1\] là trường hợp được gọi là "tầm thường" trong Toán học, do đó có thể xét từ \[n=2\] trở đi. Mình sẽ rút kinh nghiệm trong các bài trình bày sau cho chặt chẽ hơn. Rất cám ơn bạn.
 
CHAT
  1. No shouts have been posted yet.

Chủ đề mới

VnKienthuc lúc này

Không có thành viên trực tuyến.

Định hướng

Diễn đàn VnKienthuc.com là nơi thảo luận và chia sẻ về mọi kiến thức hữu ích trong học tập và cuộc sống, khởi nghiệp, kinh doanh,...
Top