Chứng minh công thức nhị thức Newton

kastryas

New member
Xu
0
Tôi mở thread này hy vọng có được sự đóng góp của các GV và hs quan tâm ... Công thức khai triển nhị thức Newton là 1 đẳng thức đẹp và nhiều người nghĩ nó đơn giản (xét về mặt giải tích). Nhưng tôi ko có cho là thế ...


Nhắc lại công thức cần chứng minh:


\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\]

Quý zị xuất chiêu đi nào .. MỜI!!!
 

kastryas

New member
Xu
0
Tôi mở thread này hy vọng có được sự đóng góp của các GV và hs quan tâm ... Công thức khai triển nhị thức Newton là 1 đẳng thức đẹp và nhiều người nghĩ nó đơn giản (xét về mặt giải tích). Nhưng tôi ko có cho là thế ...


Nhắc lại công thức cần chứng minh:


\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\]

Quý zị xuất chiêu đi nào .. MỜI!!!

Chẳng đồng chý nào quan tâm đến chủ đề này của mình sao :(
 

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
Tôi mở thread này hy vọng có được sự đóng góp của các GV và hs quan tâm ... Công thức khai triển nhị thức Newton là 1 đẳng thức đẹp và nhiều người nghĩ nó đơn giản (xét về mặt giải tích). Nhưng tôi ko có cho là thế ...


Nhắc lại công thức cần chứng minh:


\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\]

Quý zị xuất chiêu đi nào .. MỜI!!!

Có một đồng chí quan tâm nhưng hiện đang bận, nếu có thể tối nay sẽ post bài chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học với công thức nhị thức Newton tổng quát. Ok!
 

kastryas

New member
Xu
0
Có một đồng chí quan tâm nhưng hiện đang bận, nếu có thể tối nay sẽ post bài chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học với công thức nhị thức Newton tổng quát. Ok!

Cám ơn bạn đã tham gia! bạn cm bằng quy nạp trc đi sau đó tôi xin trình bày 2 phép CM khác bằng phép đếm và xác suất.
 

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
Chứng minh:

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}a^{n-i}b^i=C_{n}^{0}a^n+C_{n}^1a^{n-1}b+.....+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}\]

Với \[n=2\] ta có:

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2=C_{2}^{0}a^2+C_{2}^{1}ab+C_{2}^{2}b^2\] nên công thức đúng.

Giả sử công thức đúng với \[n=k \quad (k\geq 2)\] tức là:

\[(a+b)^k=C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+....+C_{k}^{1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k}\]

Ta chứng minh công thức đúng với \[n=k+1\].

Thật vậy ta có:

\[(a+b)^{k+1}=(a+b)^{k}.(a+b)\]

Áp dụng giả thiết quy nạp ta có:

\[(a+b)^{k}.(a+b)=\left( C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+....+C_{k}^{1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k}\right) (a+b)\]

\[=\left( C_{k}^{0}a^{k+1}+C_{k}^{1}a^{k}b+....+C_{k}^{1}a^2b^{k-1}+C_{k}^{k}ab^{k}\right)+\left( C_{k}^{0}a^{k}b+C_{k}^{1}a^{k-1}b^2+....+C_{k}^{1}ab^{k}+C_{k}^{k}b^{k+1}\right)\]

\[=C_{k}^{0}a^{k+1}+\left( C_{k}^{0}+C_{k}^{1}\right) a^{k}b+...+\left( C_{k}^{k-1}+C_{k}^{k}ab^{k}+C_{k}^{0}b^{k+1}\]

Áp dụng công thức tính chất của tổ hợp: \[C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}\] và chú ý rằng \[C_{n}^{0}=C_{m}^{0}=1\] với mọi \[m,n\in N^{*}\] ta được công thức cần chứng minh

Áp dụng công thức tổng quát này với trường hợp \[(1+x)^{n}\] ta được công thức của bạn kastryas

Xin chân thành cám ơn sự góp sức của kastryas. Mình hi vọng chúng ta tiếp tục cùng trao đổi và nghiên cứu sâu hơn về những kiến thức của bộ môn Toán. Chúng ta sẽ cùng trao đổi để mỗi người có thể thu lượm thêm những kiến thức dành cho mình.
 

kastryas

New member
Xu
0
Cám ơn bạn ... (xin lỗi vì tôi ko biết tên bạn :D)!

Đây là cách CM của tôi bằng phép đếm:

Xét \[(x+1)^n=\underbrace{(x+1).(x+1)...(x+1)}_{n}\] khi khai triển ra đa thức để tạo ra \[x^k=\underbrace{xx...x}_{k}\] ta cần chọn ra đúng k số x trong n nhân tử trên. Mỗi lần nhân phân phối như vậy tạo ra đúng 1 \[x^k\] do vậy số các \[x^k\] sau khi nhân ra là số cách chọn k phần tử (k số x) trong n phần tử số cách chọn như thế chính là \[C^k_n\] từ đó có đpcm!

ps: về bản chất công thức \[(x+1)^n=\sum_{k=0}^nC^k_nx^k\] (1) ko hề kém tính tổng quát hơn công thức \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^kb^{n-k}\] (2) vì nếu muốn từ (1) mà có (2) thì chỉ cần thay \[x=\frac{a}{b}\] vào (1).
 

rockmyheart

New member
Xu
0
Giả sử công thức đúng với n=k (k>=2)

Tôi vừa mới học phương pháp quy nạp toán học xong, cảm ơn bạn về bài giải. Nhưng ở trên bạn đã chứng minh nhị thức này đúng với n=2 vậy tôi nghĩ ở vế sau điều kiện của k chỉ cần là k>=3 là được.

Nhị thức Newton cũng đúng với cả n=1 vậy thì ban đầu bạn phải chứng minh với n=1 chứ.
 

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
Tôi vừa mới học phương pháp quy nạp toán học xong, cảm ơn bạn về bài giải. Nhưng ở trên bạn đã chứng minh nhị thức này đúng với n=2 vậy tôi nghĩ ở vế sau điều kiện của k chỉ cần là k>=3 là được.

Nhị thức Newton cũng đúng với cả n=1 vậy thì ban đầu bạn phải chứng minh với n=1 chứ.

Nếu làm một bài toán mang tính chặt chẽ thì bài toán này xét \[\forall n\in N^{*}\]. Tuy nhiên trường hợp \[n=1\] là trường hợp được gọi là "tầm thường" trong Toán học, do đó có thể xét từ \[n=2\] trở đi. Mình sẽ rút kinh nghiệm trong các bài trình bày sau cho chặt chẽ hơn. Rất cám ơn bạn.
 
CHAT
  1. Bút Nghiên @ Bút Nghiên: Một trận thắng vẫn ở trong tầm tay thầy Park
  2. Hà Nội Honey @ Hà Nội Honey: Tiếc quá. H2 mất mình
  3. Hide Nguyễn @ Hide Nguyễn: Chung kết AFF Cup 2022: Việt Nam - Thái Lan
  4. Hide Nguyễn @ Hide Nguyễn: Hi, chào @nanchy
  5. N @ nanchy: .
  6. BichKhoa blog @ BichKhoa blog: Chúc mừng năm mới!
  7. bichngoc @ bichngoc: Chúc mừng năm mới 2023!
  8. Văn Học Trẻ @ Văn Học Trẻ: Viết lách và kiếm tiền :))
  9. Hà Nội Honey @ Hà Nội Honey: Tết đến nơi rồi. Chăm chỉ như chú ong nào
  10. bichngoc @ bichngoc: hi, chào các cú đêm
  11. VnKienThuc @ VnKienThuc: Chào các bạn đang online tại diễn đàn nhé!
  12. VnKienThuc @ VnKienThuc: Shoutbox has been pruned!

Trang cá nhân

Chúc Diễn đàn Tất Niên vui vẻ, an lành :)
Việt Nam chiến thắng.
19h30 chung kết AFF 2022 Việt Nam - Thái Lan
Chúc mừng năm mới 2023~ Mong một năm mưa thuận gió hòa, kinh doanh, việc làm khấm khá lên.
Chúc cả nhà sức khỏe, thành công và nhiều may mắn!
Ghé site mình tham quan nhé: www.bichkhoa.com
Đón chào năm mới 2023! Mong thuận buồm xuôi gió, vạn sự hanh thông.
Chúc mừng năm mới 2023!

VnKienthuc lúc này

Không có thành viên trực tuyến.

Định hướng

Diễn đàn VnKienthuc.com là nơi thảo luận và chia sẻ về mọi kiến thức hữu ích trong học tập và cuộc sống, khởi nghiệp, kinh doanh,...
Top