Chứng minh công thức nhị thức Newton

[kastryas]

Tôi mở thread này hy vọng có được sự đóng góp của các GV và hs quan tâm ... Công thức khai triển nhị thức Newton là 1 đẳng thức đẹp và nhiều người nghĩ nó đơn giản (xét về mặt giải tích). Nhưng tôi ko có cho là thế ...


Nhắc lại công thức cần chứng minh:

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\]

Quý zị xuất chiêu đi nào .. MỜI!!!

 

[kastryas]

Tôi mở thread này hy vọng có được sự đóng góp của các GV và hs quan tâm ... Công thức khai triển nhị thức Newton là 1 đẳng thức đẹp và nhiều người nghĩ nó đơn giản (xét về mặt giải tích). Nhưng tôi ko có cho là thế ...


Nhắc lại công thức cần chứng minh:

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\]

Quý zị xuất chiêu đi nào .. MỜI!!!

Chẳng đồng chý nào quan tâm đến chủ đề này của mình sao

 

[NguoiDien]

Tôi mở thread này hy vọng có được sự đóng góp của các GV và hs quan tâm ... Công thức khai triển nhị thức Newton là 1 đẳng thức đẹp và nhiều người nghĩ nó đơn giản (xét về mặt giải tích). Nhưng tôi ko có cho là thế ...


Nhắc lại công thức cần chứng minh:

\[(1+x)^n=\sum_{k=0}^nC_n^kx^k\]

Quý zị xuất chiêu đi nào .. MỜI!!!

Có một đồng chí quan tâm nhưng hiện đang bận, nếu có thể tối nay sẽ post bài chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học với công thức nhị thức Newton tổng quát. Ok!

 

[kastryas]

Có một đồng chí quan tâm nhưng hiện đang bận, nếu có thể tối nay sẽ post bài chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học với công thức nhị thức Newton tổng quát. Ok!

Cám ơn bạn đã tham gia! bạn cm bằng quy nạp trc đi sau đó tôi xin trình bày 2 phép CM khác bằng phép đếm và xác suất.

 

[NguoiDien]

Chứng minh:

\[(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}a^{n-i}b^i=C_{n}^{0}a^n+C_{n}^1a^{n-1}b+.....+C_{n}^{n-1}ab^{n-1}+C_{n}^{n}b^{n}\]

Với \[n=2\] ta có:

\[(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2=C_{2}^{0}a^2+C_{2}^{1}ab+C_{2}^{2}b^2\] nên công thức đúng.

Giả sử công thức đúng với \[n=k \quad (k\geq 2)\] tức là:

\[(a+b)^k=C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+....+C_{k}^{1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k}\]

Ta chứng minh công thức đúng với \[n=k+1\].

Thật vậy ta có:

\[(a+b)^{k+1}=(a+b)^{k}.(a+b)\]

Áp dụng giả thiết quy nạp ta có:

\[(a+b)^{k}.(a+b)=\left( C_{k}^{0}a^{k}+C_{k}^{1}a^{k-1}b+....+C_{k}^{1}ab^{k-1}+C_{k}^{k}b^{k}\right) (a+b)\]

\[=\left( C_{k}^{0}a^{k+1}+C_{k}^{1}a^{k}b+....+C_{k}^{1}a^2b^{k-1}+C_{k}^{k}ab^{k}\right)+\left( C_{k}^{0}a^{k}b+C_{k}^{1}a^{k-1}b^2+....+C_{k}^{1}ab^{k}+C_{k}^{k}b^{k+1}\right)\]

\[=C_{k}^{0}a^{k+1}+\left( C_{k}^{0}+C_{k}^{1}\right) a^{k}b+...+\left( C_{k}^{k-1}+C_{k}^{k}ab^{k}+C_{k}^{0}b^{k+1}\]

Áp dụng công thức tính chất của tổ hợp: \[C_{n}^{k-1}+C_{n}^{k}=C_{n+1}^{k}\] và chú ý rằng \[C_{n}^{0}=C_{m}^{0}=1\] với mọi \[m,n\in N^{*}\] ta được công thức cần chứng minh

Áp dụng công thức tổng quát này với trường hợp \[(1+x)^{n}\] ta được công thức của bạn kastryas

Xin chân thành cám ơn sự góp sức của kastryas. Mình hi vọng chúng ta tiếp tục cùng trao đổi và nghiên cứu sâu hơn về những kiến thức của bộ môn Toán. Chúng ta sẽ cùng trao đổi để mỗi người có thể thu lượm thêm những kiến thức dành cho mình.

 

[kastryas]

Cám ơn bạn ... (xin lỗi vì tôi ko biết tên bạn )!

Đây là cách CM của tôi bằng phép đếm:

Xét \[(x+1)^n=\underbrace{(x+1).(x+1)...(x+1)}_{n}\] khi khai triển ra đa thức để tạo ra \[x^k=\underbrace{xx...x}_{k}\] ta cần chọn ra đúng k số x trong n nhân tử trên. Mỗi lần nhân phân phối như vậy tạo ra đúng 1 \[x^k\] do vậy số các \[x^k\] sau khi nhân ra là số cách chọn k phần tử (k số x) trong n phần tử số cách chọn như thế chính là \[C^k_n\] từ đó có đpcm!

ps: về bản chất công thức \[(x+1)^n=\sum_{k=0}^nC^k_nx^k\] (1) ko hề kém tính tổng quát hơn công thức \[(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC^k_na^kb^{n-k}\] (2) vì nếu muốn từ (1) mà có (2) thì chỉ cần thay \[x=\frac{a}{b}\] vào (1).

 

[rockmyheart]

Giả sử công thức đúng với n=k (k>=2)

Tôi vừa mới học phương pháp quy nạp toán học xong, cảm ơn bạn về bài giải. Nhưng ở trên bạn đã chứng minh nhị thức này đúng với n=2 vậy tôi nghĩ ở vế sau điều kiện của k chỉ cần là k>=3 là được.

Nhị thức Newton cũng đúng với cả n=1 vậy thì ban đầu bạn phải chứng minh với n=1 chứ.

 

[NguoiDien]

Tôi vừa mới học phương pháp quy nạp toán học xong, cảm ơn bạn về bài giải. Nhưng ở trên bạn đã chứng minh nhị thức này đúng với n=2 vậy tôi nghĩ ở vế sau điều kiện của k chỉ cần là k>=3 là được.

Nhị thức Newton cũng đúng với cả n=1 vậy thì ban đầu bạn phải chứng minh với n=1 chứ.

Nếu làm một bài toán mang tính chặt chẽ thì bài toán này xét \[\forall n\in N^{*}\]. Tuy nhiên trường hợp \[n=1\] là trường hợp được gọi là "tầm thường" trong Toán học, do đó có thể xét từ \[n=2\] trở đi. Mình sẽ rút kinh nghiệm trong các bài trình bày sau cho chặt chẽ hơn. Rất cám ơn bạn.

 

[tienhuule]

minh moi la thanh vien cua dien dan.cam on ban da giup moi nguoi giai bai toan tren.rat hi vong duoc ket ban voi ban!