Các phương pháp giải phương trình vô tỉ

[NguoiDien]

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ​

1.Phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ: Giải phương trình : \[2x^{2}+4x-4=\sqrt{x^2+2x-3}\qquad (1)\]

Giải:

Đặt \[t=\sqrt{x^2+2x-3}\] ta có:

\[(1)\Leftrightarrow 2t^2+2=t\] với điều kiện \[t\geq 0\]

Tìm \[t\] sau đó suy ra \[x\] (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng)

2.Phương pháp đưa về hệ phương trình:

Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng:

\[\sqrt{ax+b}+\limits_{-}\sqrt{cx+d}=m\]

Ví dụ: Giải phương trình : \[\sqrt{x+3}+\sqrt{2x+1}=4\]

Đặt:

\[\left{ a=\sqrt{x+3} \\ b=\sqrt{2x+1}\] với điều kiện \[a,b\geq 0\]

Khi đó ta có hệ:

\[\left{ a+b=4 \\ 2a^2-b^2=5\]

Giải hệ tìm \[a;b\] suy ra \[x\].

3.Phương pháp bất đẳng thức:

Ví dụ: Giải phương trình: \[4\sqrt{\frac{x^2}{3}+4}=1+\frac{3x}{2}+\sqrt{6x}\]

Giải:

Theo BĐT Côsi ta có:

\[\sqrt{6x}\leq \frac{6+x}{2}\]

Do đó:

\[4\sqrt{\frac{x^2}{3}+4}\leq 2x+4\Leftrightarrow \frac{(x-6)^2}{3}\leq 0\Rightarrow x=6\]

4.Phương pháp lượng giác:

Ví dụ: Giải phương trình:

\[\sqrt{(x-1)^3}=2\sqrt{1-x^2}\]

Giải:

Điều kiện: \[|x|\leq 1\] .

Đặt:

\[x=cos\alpha\]

và biến đổi đơn giản ta có:

\[(\sqrt{2}-1)(1+sin\frac{\alpha}{2})=0\]

suy ra \[\alpha\] và từ đó tìm được \[x\]

5.Phương pháp nhân liên hợp:

Ví dụ: Giải phương trình:

\[16x^3-1=\sqrt[4]{x-\frac{1}{2}}\]

Giải:

Phương trình tương đương với:

\[16\left( x^3-\frac{1}{8}\right) =\sqrt[4]{x-\frac{1}{2}}-1\]

\[\Leftrightarrow 16\left(x-\frac{1}{2}\right)\left( x^2+\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)\left(\sqrt[4]{x-\frac{1}{2}}+1\right)\left(\sqrt{x-\frac{1}{2}}+1\right) =x-\frac{1}{2}=\]

\[\Rightarrow x=\frac{1}{2}\]

 

[liti]

Phương pháp lượng giác hoá


B. Nội dung phương pháp

I. Phương pháp lượng giác hoá

1. Nếu \[ \large |x| \leq a \]th“ ta có thể đặt \[\large x = asint, \in (-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}) \] hoặc \[\large x = acost , t \in (0 ; \pi)\]

Ví dụ 1 : \[\large \sqrt{1 +\sqrt{1 - x^2} } = x(1 + 2\sqrt{1 - x^2})\]

Lời giải : ĐK : \[\large |x| \leq 1\] Đặt \[\large x = sint , t \in (-\frac{\pi }{2} ; \frac{\pi}{2})\] Phương tr“nh đã cho trở thành :

\[ \large \sqrt{1 + cost } = sint (1 + 2cost) \]

\[\Leftrightarrow \large \sqrt{2} cos (\frac{t}{2}) = sint + sin2t = 2sin(\frac{3t}{2})cos(\frac{t}{2}) \]

\[\Leftrightarrow cos(\large \frac{t}{2}\])(\[\large \sqrt{2}sin (\frac{3t}{2}) - 1\] ) = 0

\[\Leftrightarrow \large\left\[{cos(\frac{t}{2}) = 0 \\ {sin(\frac{3t}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

\[\Leftrightarrow \large\left\[{t = (2k+1)\pi \\ {t = \frac{\pi }{6} + k\frac{4\pi }{3}\]
Kết hợp với điều kiện của t suy ra : \[\large t = \frac{\pi }{6}\]

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : \[\large x = sin (\frac{\pi }{6}) = \frac{1}{2} \]

Ví dụ 2 : \[\large \sqrt{1 + \sqrt{1 - x^2}}[\sqrt{(1 + x)^3} - \sqrt{(1 - x)^3}] = \frac{2}{\sqrt{3} } + \sqrt{\frac{1 - x^2}{3} }\]

Lời giải : ĐK : \[\large |x| \leq 1\]

Khi đó VP > 0 .

Nếu \[\large x \in [-1 ; 0] : \sqrt{(1 + x)^3} - \sqrt{(1 - x)^3} \leq 0\]

Nếu \[\large x \in [0 ; 1]\] .

Đặt \[\large x = cost \] , với \[\large t \in [0 ; \frac{\pi}{2}]\] ta có :
\[ \large 2\sqrt{6}(sin(\frac{t}{2}) + cos(\frac{t}{2}))(cos^3(\frac{t}{2}) - sin^3(\frac{t}{2})) = 2 + sint \]

\[\Leftrightarrow \large 2\sqrt{6}cost(1 + \frac{1}{2}sint) = 2 + sint \]
\[\Leftrightarrow ( \large \sqrt{6}cost - 1 \] ) ( \[\large 2 + sin t \] ) = 0
\[\Leftrightarrow \large cost = \frac{1}{\sqrt{6}}\]

Vậy nghiệm của phương tr“nh là \[ \large x = \frac{1}{\sqrt{6}}\]

Ví dụ 3 : \[\large \sqrt{1 - 2x} + \sqrt{1 + 2x} = \sqrt{\frac{1 - 2x}{1 + 2x} } + \sqrt{\frac{1 + 2x}{1 - 2x} }\]

Lời giải : ĐK : \[\large |x| \leq \frac{1}{2}\]

Đặt \[\large 2x = cost , t \in (0 ; \pi)\]

phương tr“nh đã cho trở thành :

\[\large (sin(\frac{t}{2}) + cos(\frac{t}{2}))\sqrt{2} = tan(\frac{t}{2}) + cotan (\frac{t}{2})\]

\[\Leftrightarrow \large 2(1 + sint) = \frac{4}{sin^2t}\]
\[\Leftrightarrow \large sin^3t + sin^2t - 2 = 0\]
\[\Leftrightarrow \large cost = 0\]

Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất \[\large x = 0\]

Ví dụ 4 (TC THTT): \[\large x^3 - 3x = \sqrt{x + 2} (1)\]

HD :

Nếu \[\large x < - 2\] : phương tr“nh không xác định .

Chú ý với \[\large x > 2\] ta có :

\[\large x^3 - 3x = x + x(x^2 - 4) > x > \sqrt{x + 2}\]

vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với \[\large x \in [-2 ; 2]\]

Đặt \[\large x = 2cost , t \in (0 ; \pi)\]

khi đó phương tr“nh đã cho trở thành : \[\large cos3t = cos(\frac{t}{2})\]

sưu tầm từ mathscope​

 

[liti]

2. Nếu \[\large |x| \geq a\] th“ ta có thể đặt :
\[+ \large x = \frac{a}{sint} , t \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}) , t \neq 0 \]
\[ + \large x = \frac{a}{cost} , t \in (0 ; \pi) , t \neq \frac{\pi }{2}\]
Ví dụ 5 : \[\large x^2(1 + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1} } = 1\]
Lời giải : ĐK : \[\large |x| > 1\]
Đặt \[\large x = \frac{1}{sint} , t \in (-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})\]
Phương tr“nh đã cho trở thành :
\[\large \frac{1}{sin^2t}(1 + cotant) = 1\]
\[\Leftrightarrow \large - cos^2t = cotant\]
\[\Leftrightarrow \large cost(cost + \frac{1}{sint}) = 0\]
\[\Leftrightarrow \large\left\[{cost = 0 \\ {sin2t = -1/2}\]
\[\Leftrightarrow \large t = -\frac{\pi }{12} + k\pi\]
kết hợp với điều kiện của t suy ra \[\large t = -\frac{\pi }{12}\]
Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm : \[\large x = \frac{1}{sin(-\frac{\pi }{12})} = -\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)\]
TQ : \[\large x^2(a + \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1} }) = a\]
Ví dụ 6 : \[\large x + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 9} } = 2\]
Lời giải : ĐK : \[\large |x| > 3\]
Đặt \[\large x = \frac{3}{cost} , t \in (0 ; \pi) , t \neq \frac{\pi }{2}\]
phương tr“nh đã cho trở thành :
\[\large \frac{1}{cost} + \frac{1}{sint} = 2\sqrt{2}\]
\[\Leftrightarrow \large 1 + sin2t = 2sin^22t\]
\[\Leftrightarrow \large sin2t = 1\]
\[\Leftrightarrow \large t = \frac{\pi }{4}\]
\[\Leftrightarrow \large x = \frac{3}{cos(\frac{\pi }{4})} = 3\sqrt{2}\] (thỏa mãn)
TQ : \[\large x + \frac{ax}{\sqrt{x^2 - a^2} } = b\]
với a,b là các hằng số cho trước

 

[liti]

3. Đặt \[\large x = tant , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2})\] để đưa về phương tr“nh lượng giác đơn giản hơn :
Ví dụ 7 : \[\large x^3 - 3\sqrt{3}x^2 - 3x + \sqrt{3} = 0\] (1)

Lời giải :

Do \[\large x \neq \pm \frac{1}{\sqrt{3} }\] không là nghiệm của phương tr“nh nên :
(1)\[ \Leftrightarrow \large \frac{3x - x^3}{1 - 3x^2} = \sqrt{3}\] (2)

Đặt \[\large x = tant , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2})\] .

Khi đó (2) trở thành :

\[\large tg3t = \sqrt{3}\]

\[\Leftrightarrow \large t = \frac{\pi }{9} + k\frac{\pi }{3}\]
Suy ra (1) có 3 nghiệm :

\[\large x = tan(\frac{\pi }{9}) ; x = tan(\frac{2\pi }{9}); x = tan(\frac{7\pi }{9})\]
Ví dụ 8 : \[\large \sqrt{x^2 + 1} + \frac{x^2 + 1}{2x} = \frac{(x^2 + 1)^2}{2x(1 - x^2)}\]
Lời giải : ĐK : \[\large x \neq 0 ; x \neq \pm 1\]

Đặt \[\large x = tgt , t \in (- \frac{\pi }{2} ; \frac{\pi }{2}) , t \neq {0 ; \pm \frac{\pi }{4})\]
phương tr“nh đã cho trở thành :

\[\large \frac{1}{cost} + \frac{1}{sin2t} = \frac{2}{sin4t}\]

\[\Leftrightarrow \large \frac{1}{cost}(1 + \frac{1}{2sint} - \frac{1}{2sint.cos2t}) = 0\]

\[\Leftrightarrow \large 2sint.cos2t + cos2t - 1 = 0\]

\[\Leftrightarrow \large 2sint(1 - 2sin^2t) - 2sin^2t = 0\]

\[\Leftrightarrow \large sint(1 - sint - 2sin^2t) = 0\Leftrightarrow \large\left\[{sint = 0\\{sint = -1}\\{sint = 1/2}\]

\[\Leftrightarrow \large\left\[{t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi\\{t = \frac{\pi }{6} + k2\pi\]

Kết hợp với điều kiện suy ra : \[\large t = \frac{\pi }{6}\]

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

\[\large x = \frac{1}{\sqrt{3} }\]




sưu tầm

 

[liti]

4. Mặc định điều kiện : \[\large |x| \leq a\] . sau khi t“m được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận :
Ví dụ 9 : \[\large \sqrt[3]{6x + 1} = 2x \]
Lời giải :
phương tr“nh đã cho tương đương với :
\[\large 8x^3 - 6x = 1\] (1)
Đặt \[\large x = cost , t \in [0 ; \pi] \]:
(1) trở thành :
\[\large cos3t = \frac{1}{2}\]
:Leftrightarrow \[\large t = \pm \frac{\pi }{9} + k\frac{2\pi }{3} (k \in Z)\]
Suy ra (1) có tập nghiệm :
\[\large S = [cos(\frac{\pi }{9}); cos(\frac{5\pi }{9}) ; cos(\frac{7\pi }{9})] \]
Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S

sưu tầm từ mathscope.org

 

[liti]

II. Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để
* Nội dung phương pháp :
Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ hay là ẩn của phương tr“nh đã cho :
Đưa phương tr“nh về dạng sau :
\[\large \sqrt{f(x)}.Q(x) = f(x) + P(x).x\]
khi đó :
Đặt \[\large \sqrt{f(x)} = t , t > 0 \]. Phương trình viết thành :
\[\large t^2 - t.Q(x) + P(x) = 0\]
Đến đây chúng ta giải t theo x. Cuối cùng là giải quyết phương tr“nh \[\large \sqrt{f(x)} = t\] sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :
Ví dụ 10 : \[\large 2\sqrt{2x + 4} + 4\sqrt{2 - x} = \sqrt{9x^2 + 16}\] (1)
lời giải : ĐK : \[\large |x| \leq 2\]
Đặt \[\large t = \sqrt{2(4 - x^2)}\]
Lúc đó :
(1) \[\Leftrightarrow \large 4(2x + 4) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} + 16(2 - x) = 9x^2 + 16\]
\[\Leftrightarrow \large 8(4 - x^2) + 16\sqrt{2(4 - x^2)} = x^2 + 8x\]Phương tr“nh trở thành :
\[\large 4t^2 + 16t - x^2 - 8x = 0\]
Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :
\[\large t_1 = \frac{x}{2} ; t_2 = - \frac{x}{2} - 4\]
Do \[\large |x| \leq 2\] nên \[\large t_2 < 0\] không thỏa điều kiện \[\large t \geq 0\] .
Với \[\large t = \frac{x}{2}\] th“ :
\[\large \sqrt{2(4 - x^2)} = \frac{x}{2}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\[{x \geq 0\\{8(4 - x^2) = x^2}\]
\[\Leftrightarrow \large x = \frac{4\sqrt{2} }{3}\] ( thỏa mãn điều kiên \[\large |x| \leq 2)\]
Ví dụ 11 : \[\large x^2 + x + 12\sqrt{x + 1} = 36\]
Lời giải : ĐK : \[\large x \geq - 1\]
Đặt \[\large t = \sqrt{x + 1} \geq 0\] .
phương trình đã cho trở thành :
\[\large x.t^2 + 12u - 36 = 0\]
\[\Leftrightarrow \large t = \frac{-6 \pm 6t }{x}\]
* Với \[\large t = \frac{-6 - 6t }{x}\] , ta có :
\[\large (x + 6)t = - 6 \](vô nghiệm v“ : \[\large VT \geq 0 ; VP < 0\])
* Với \[\large t = \frac{-6 + 6t }{x}\] , ta có :
\[\large 6 = (6 - x)t\]
Do \[\large x = 6\] không là nghiệm của phương tr“nh nên :
\[\large t = \frac{6}{6 - x}\]
\[\Leftrightarrow \large \sqrt{x + 1} = \frac{6}{6 - x}\]
Bình phương hai vế và rút gọn ta được : \[\large x = 3\] (thỏa mãn)
TQ : \[\large x^2 + ax + 2b\sqrt{x + a} = b^2\]

 

[khanhsy]

cau noi Bình tĩnh - Tự tin - Không cay cú. Đó là bài học đầu tiên trước khi bước vào kì thi cam go rất hay

Bình tĩnh - Tự tin - Đừng cay cú
Âm thầm chịu đựng trả thù sau :byebye:

(p/s Spam chém gió quá đí và còn một phần của pt rất quan trọng)

\[\left{\sqrt{ax+b}=m(cx+d)^2+ex+f\\am+e=c\\bm+f=d\]

lúc đó chúng ta đặt

\[cy+d=\sqrt{ax+b}\]

và đưa về hệ đối xứng loại hai

 

[liti]

Ví dụ 12 : \[\large 3(\sqrt{2x^2 + 1} - 1) = x(1 + 3x + 8\sqrt{2x^2 + 1})\]
Lời giải :
Đặt \[\large \sqrt{2x^2 + 1} = t \geq 1\] .
Phương tr“nh đã cho viết thành :
\[\large 3(t - 1) = x + 3(t^2 - 1) - 3x^2 + 8xt \Leftrightarrow \large 3t^2 - (8x - 3)t - 3x^2 + x = 0\]
Từ đó ta tìm được \[\large t = \frac{x}{3}\] hoặc \[\large t = 1 - 3x\]
Giải ra được : \[\large x = 0\] .
* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên . Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó . Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn .
ví dụ 13 : \[\large 2008x^2 - 4x + 3 = 2007x\sqrt{4x - 3}\]
Lời giải : ĐK : \[\large x \geq \frac{3}{4}\]
Đặt \[\large \sqrt{4x - 3} = t \geq 0\] .
phương trình đã cho trở thành :
\[\large 2008x^2 - 2007xt - t^2 = 0\]
Giải ra : \[\large x = t\] hoặc \[\large x = - \frac{t}{2008}\] (loại)
* \[\large x = t\] ta có :
\[\large x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \large\left\[{x = 1\\{x = 3}\]
Vậy \[\large x = 1 , x = 3\] là các nghiệm của phương tr“nh đã cho .
ví dụ 14 : \[\large (4x - 1)\sqrt{x^3 + 1} = 2x^3 + 2x + 1\]

Lời giải : ĐK : \[\large x \geq -1\]

Đặt \[\large t = \sqrt{x^3 + 1}\]

Phương tr“nh đã cho trở thành :

\[\large 2(t^2 - 1) + 2x + 1 = (4x - 1)t \Leftrightarrow \large 2t^2 - (4x - 1)t + 2x - 1 = 0\]

Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!!


sưu tầm

 

[liti]

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về dạng tích
1. Dùng một ẩn phụ
Ví dụ 15 : \[\large x^2 + \sqrt{x + \frac{3}{2} } = \frac{9}{4} \](1)
Lời giải : ĐK : \[\large x \geq - \frac{3}{2} \].
Đặt \[\large \sqrt{x + \frac{3}{2} } = t , t \geq 0 \].
phương tr“nh (1) trở thành :
\[\large (t^2 - \frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4} - t\]
\[\Leftrightarrow \large t(t^3 - 3t + 1) = 0\]
\[\Leftrightarrow \large\left\[{t = 0 \\ {t^3 - 3t + 1 = 0 (2)}\]
(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :
Đặt \[\large x = 2cost , t \in (0 ; \pi)\] để đưa về dạng : \[\large cos3t = - \frac{1}{2} \]
TQ : \[\large x^2 + \sqrt{x + a} = a^2\]
Với a là hắng số cho trước .
Ví dụ 16 : \[\large x^3 - 3x^2 + 2\sqrt{(x + 2)^3} = 0\] (1)
Lời giải : ĐK : \[\large x \geq - 2\]
Viết lại (1) dưới dạng :
\[\large x^3 - 3x(x + 2) + 2 \sqrt{(x + 2)^3} = 0 \](2)
Đặt \[\large t = \sqrt{x + 2} \geq 0 \].
Khi đó (2) trở thành :
\[\large x^3 - 3xt^2 + 2y^3 \]
\[\Leftrightarrow \large (x - t)^2(x + 2t) = 0\]
Do vậy \[\large x = t\] hoặc \[\large x = -2t\]
*\[\large x = t \]. Ta có :
\[\large x = \sqrt{x + 2}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\{{x \geq 0 \\ {x^2 - x - 2 = 0}\]
\[\Leftrightarrow \large x = 2\]
*\[ \large x = -2t\] . Ta có :
\[\large x = - \sqrt{x + 2}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\{{x \leq 0 \\ {x^2 - 4x - 8 = 0}\]
\[\Leftrightarrow \large x = 2 - 2\sqrt{3}\]
Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm : \[\large x = 2 , x = 2 - 2 \sqrt{3}\]
Ví dụ 17 : \[\large x + \sqrt{5 + \sqrt{x - 1} } = 0\]
Lời giải : ĐK : \[\large x \in [1 ; 6] \](1)
Đặt \[\large t = \sqrt{x - 1} , t \geq 0\] (2) .
phương tr“nh đã cho trở thành :
\[\large t^2 + \sqrt{5 + t} = 5 \](3)
\[\Leftrightarrow t^4 - 10t^2 - t + 20 = 0\]
\[\Leftrightarrow \large (t^2 + t -4)(t^2 - t - 5) = 0\]
Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :
\[\large x = \frac{11 - \sqrt{17} }{2}\]
Ví dụ 18 : \[\large x = (2006 + \sqrt{x})(1 - \sqrt{1 - \sqrt{x} })^2\]
Lời giải : ĐK : \[\large x \in [0 ; 1]\] (1)
Đặt \[\large t = \sqrt{1 - \sqrt{x} } \]
\[\Rightarrow \large 0 \leq t \leq 1\]
Khi đó : \[\large \sqrt{x} = 1 - t^2 , x = (1 - t^2)^2 \].
phương tr“nh đã cho trở thành :
\[\large (1 - t^2)^2 = (2006 + 1 - t^2)(1 - t)^2\]
\[\Leftrightarrow \large (1 - t)^2(1 + t)^2 = (2007 - t^2)(1 - t)^2\]
\[\Leftrightarrow \large 2(1 - t)^2(t^2 + t - 1003)\]
V“ \[\large 0 \leq t \leq 1\] nên :
t^2 + t - 1003 < 0
Do đó phương tr“nh tương đương với :
\[\large t - 1 = 0\]
\[\Leftrightarrow \large t = 1\]
Do vậy \[\large x = 0\] (thỏa (1))

 

[liti]

2. Dùng 2 ẩn phụ .
Ví dụ 9 : \[\large \sqrt{4x^2 + 5x + 1} - 2\sqrt{x^2 - x + 1} = 9x - 3\]
Lời giải :
Đặt \[\large a = \sqrt{4x^2 + 5x + 1} , b = 2\sqrt{x^2 - x + 1}\]
\[\Rightarrow \large a^2 - b^2 = 9x - 3\]
\[\Rightarrow \large a - b = a^2 - b^2 \]
\[\Leftrightarrow \large (a - b)(a + b - 1) = 0\]
*\[\large a - b = 0\]
\[\Rightarrow \large x = \frac{1}{3}\]
*\[ \large a + b - 1 = 0 \]
\[\Rightarrow \large\left\{{a - b = 9x - 3\\{2a = 9x - 2}\]
\[\Rightarrow \large\left\[{x = 0\\{x = \frac{56}{65}}\]
Ví dụ 20 : \[\large 2(x^2 - 3x + 2) = 3\sqrt{x^3 + 8}\] (1)
Lời giải : ĐK : \[\large - 2 \leq x \leq 1\] hoặc\[\large x \geq 2\] (*)
Đặt \[\large u = \sqrt{x^2 - 2x + 4} , v = \sqrt{x + 2}\] ta có :
\[\large u^2 - v^2 = x^2 - 3x + 2 .\]
(1) trở thành :
\[\large 2(u^2 - v^2) = 3uv\]
\[\Leftrightarrow \large (2u + v)(u - 2v) = 0\]
\[\Leftrightarrow \large u = 2v\] (Do \[\large 2u + v > 0\])
T“m x ta giải :
\[\large \sqrt{x^2 - 2x + 4} = 2 \sqrt{x + 2}\]
\[\Leftrightarrow \large x^2 - 6x - 4 = 0\]
\[\Leftrightarrow \large x = 3 \pm \sqrt{13}\] (Thỏa (*))
Vậy (1) có 2 nghiệm :
\[\large x = 3 \pm \sqrt{13}\]
Ví dụ 21 : \[\large \sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}\]
Lời giải : ĐK : \[\large x \geq 5\]
Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :
\[\large (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}\]
\[\Leftrightarrow \large 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0 \](2)
Đặt \[\large u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}\] và \[\large v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .\]
Th“ :
(2) \[\Leftrightarrow \large 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0\]
\[\Leftrightarrow \large (u - v)(2u - 3v) = 0\]
* \[\large u = v\] ta có :\[\large x^2 - 5x - 9 = 0\]
* \[\large 2u = 3v\] ta có : \[\large 4x^2 - 25x - 56 = 0\]
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :
\[\large x = \frac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8\]
Ví dụ 22 : \[\large \sqrt{x} + \sqrt[4]{x(1 - x)^2} + \sqrt[4]{(1 - x)^3} = \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1 - x)}
\]
lời giải : ĐK : \[\large 0 \leq x \leq 1\]
Đặt :
\[\large\left\{{u = \sqrt[4]{x} \\ {v = \sqrt[4]{1 - x}}\Rightarrow \large\left\{{u \geq 0}\\{v \geq 0}\\{u^4 + v^4 = 1}\]
Từ phương tr“nh ta được :
\[\large u^2 + uv^2 + v^3 = v^2 + u^3 + u^2v \Leftrightarrow \large (u - v)(u + v)(1 - u - v) = 0\Leftrightarrow \large (u - v)(1 - u - v) = 0 \]( Do \[\large u + v > 0\])
từ đó ta giải ra được các nghiệm :
\[\large x = 0 , x = \frac{1}{2} , x = 1 \]

sưu tầm từ mathscope.org

 

[liti]

3. Dùng 3 ẩn phụ .
Ví dụ 23 : \[\large \sqrt[3]{7x + 1} - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} + \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1} = 2\]
Lời giải :
Đặt \[\large a = \sqrt[3]{7x + 1} , b = - \sqrt[3]{x^2 - x - 8} , c = \sqrt[3]{x^2 - 8x + 1}\] ta có :
\[\large a + b + c = 2\]
\[\large a^3 + b^3 +c^3 = (7x + 1) - (x^2 - x - 8) + (x^2 - 8x - 1) = 8\] (1)
Mặt khác : \[\large (a + b +c)^3 = 8\] (2)
Từ (1) và (2) ta có :
\[\large (a + b + c)^3 - (a^3 + b^3 +c^3) = 3(a + b)(b + c)(c + a)\]
Nên :
\[\large (a + b)(b + c)(c + a) = 0\]
:Leftrightarrow \[\large\left\[{a = -b}\\{b = -c}\\{c = -a}\]
từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương tr“nh :
\[\large S = (- 1 ; 0 ; 1 ; 9)\]
Ví dụ 24 : \[\large \sqrt[3]{3x + 1} + \sqrt[3]{5 - x} + \sqrt[3]{2x - 9} - \sqrt[3]{4x - 3} = 0\] (1)
Lời giải :
Đặt \[\large a = \sqrt[3]{3x + 1} ; b = \sqrt[3]{5 - x} ; c = \sqrt[3]{2x - 9}\]
Suy ra : \[\large a^3 + b^3 + c^3 = 4x - 3\]
khi đó từ (1) ta có :
\[\large (a + b + c)^3 = (a^3 + b^3 +c^3)\]
:Leftrightarrow \[\large (a + b)(b + c)(c + a) = 0\]
Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của phương tr“nh :
\[\large x = -3 ; x = 4 ; x = \frac{8}{5}\]

sưu tầm từ mathscope.org

 

[liti]

III. Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ
1. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút gọn theo vế .
a. Dùng một ẩn phụ .
Ví dụ 25 : \[\large x^2 + \sqrt{x + 5} = 5 \]
Lời giải :ĐK : \[\large x \geq - 5\]
Đặt \[\large t = \sqrt{x + 5} , t \geq 0 \] . Ta có :
\[\large x = t^2 - 5\]
\[\Rightarrow \large\left\{{x^2 + t = 5\\{t^2 - x = 5}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\{{x^2 + t = 5\\{x^2 - t^2 + t + x = 5}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\{{x^2 + t = 5\\{(x + t)(x + 1 - t) = 0}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\[{\left\{{x^2 + t = 5}\\{x + t = 0}}\\{\left\{{x^2 + t = 5 \\{x + 1 - t = 0}}}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\[{x = \frac{1 - \sqrt{21} }{2} \\ x = \frac{- 1 - \sqrt{21} }{2}}\]
TQ : \[\large x^2 + \sqrt{x + a} = a\]
b. Dùng 2 ẩn phụ .
* ND :
\[\large \sqrt[m]{a + f(x)} + \sqrt[n]{b - f(x)} = c\]
* Cách giải :
Đặt :
\[\large u = \sqrt[m]{a + f(x)}\]
\[\large v = \sqrt[n]{b - f(x)}\]
Như vậy ta có hệ :
\[\large\left\{{u + v = c \\{u^m + v^n = a + b}\]
Ví dụ 26 : \[\large \sqrt[4]{57 - x} + \sqrt[4]{x + 40} = 5\] (1)
Lời giải : ĐK :\[ \large - 40 \leq x \leq 57\]
Đặt \[\large u = \sqrt[4]{57 - x} ; v = \sqrt[4]{x + 40}\]
Khi đó :
(1) \[\Leftrightarrow \large\left\{{u + v = 5 \\{u^4 + v^4 = 97}\]:Leftrightarrow \[\large\left\{{u + v = 5 \\{[(u + v)^2 - 2uv]^2 - 2u^2v^2 = 97}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\{{u + v = 5 \\{2(uv)^2 - 10uv + 528 = 0}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\{{u + v = 5 \\{\left\[{uv = 6 \\{uv = 44}}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\{{u + v = 5 \\{uv = 6}\] (Do hệ : \[\large u + v = 5 , uv = 44 \] : vô nghiệm )
\[\Leftrightarrow \large u = 2 ; v = 3 \]hoặc \[\large u = 3 ; v = 2\]
Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban đầu .
Ví dụ 27 : \[\large \sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } + \sqrt[4]{x} = \frac{1}{\sqrt[4]{2} }\]
Lời giải : ĐK : \[\large 0 \leq x \leq \sqrt{2} - 1 \]
Đặt :
\[\large\left\{{\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x } = u \\{\sqrt[4]{x} = v}\]Với :
\[\large\left\{{0 \leq u \leq \sqrt{\sqrt{2} - 1} \\ {0 \leq v \leq \sqrt[4]{\sqrt{2} - 1}\] (*)
Như vậy ta được hệ :
\[\large\left\{{u + v = \frac{1}{\sqrt[4]{2} } \\ u^2 + v^4 = \sqrt{2} - 1}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\{{u = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} - v \\ {(\frac{1} {\sqrt[4]{2}} - v)^2 + v^4 = \sqrt{2} - 1 (1)}\]
Giải (1) :
(1)
\[\Leftrightarrow \large (v^2 + 1)^2 - (\frac{1}{\sqrt[4]{2}} + v)^2 = 0\]
\[\Leftrightarrow \large v^2 - v + 1 - \frac{1}{\sqrt[4]{2}}\]
\[\Leftrightarrow \large v_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{4}{\sqrt[4]{2} } - 3} }{2}\] (\[\large v_{1,2} > 0\])
Vậy \[\large V_{1,2}\] thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho .
Ví dụ 28 : \[\large \sqrt{\frac{7}{4}\sqrt{x} - 1 + x^2} = (1 - \sqrt{x})^2\]
Lời giải :
Đặt :
\[\large y = \sqrt{x} , y \geq 0\]
\[\large z = 1 - \sqrt{x}\]
\[\Rightarrow \large\left\{{y + z = 1 (2) \\{y^4 - z^4 = \frac{7}{4}\sqrt{x} - 1 = \frac{7}{4}y - 1 (1)}\]
(2) \[\Rightarrow\]
(1) \[\Leftrightarrow \large y^4 - (1 - y)^4 = \frac{7}{4}y - 1\]
\[\Leftrightarrow \large 4y(y - \frac{3}{4})^2 = 0\]
\[\Leftrightarrow \large\left\[{y = 0 \\{y = \frac{3}{4}}\]
\[\Leftrightarrow \large\left\[{x = 0 \\{x = \frac{9}{16}}\]

sưu tầm từ mathscope.org

 

[liti]

2. Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng
Dạng 1 : \[\large x^n + b = a\sqrt[n]{ax - b}\]
CG : Đặt \[\large t = \sqrt[n]{ax - b}\] ta có hệ :
\[\large\left\{{x^n + b = at\\{t^n + b = ax}\]
Ví dụ 29 : \[\large x^3 + 1 = 2\sqrt[3]{2x - 1}\]
Lời giải :
Đặt : \[\large t = \sqrt[3]{2x - 1}\] ta có : \[\large t^3 = 2x - 1\]
\[\large\left\{{x^3 + 1 = 2t\\{t^3 + 1 = 2x}\]
\[\large\left\{{x^3 + 1 = 2t \\{x^3 - t^3 = 2(t - x)}\]
\[\large\left\{{x^3 + 1 = 2t \\{(x - t)(x^2 + t^2 + t + tx + 2) = 0}\]
\[\large\left\{{x = t\\{x^3 - 2x + 1 = 0 (1)} V \large\left\{{x^3 + 1 = 2t\\{x^2 + t^2 + tx + 2 = 0 (2)}\]
(1) \[\large (x - 1)(x^2 + x - 1) = 0\]:Leftrightarrow \[\large\left\{{x = 1 \\{x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5} }{2}}\]
(2)\[\large (t + x)^2 + x^2 + t^2 + 4 = 0 \]: Vô nghiệm .
Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là :
\[\large S = (1 ; \frac{- 1 \pm \sqrt{5} }{2})\]
Dạng 2 : \[\large x = a + \sqrt{a + \sqrt{x} }\]
CG : ĐẶt \[\large t = a + \sqrt{x}\]
PT :Leftrightarrow \[\large\left\{{x = a + \sqrt{t} \\{t = a + \sqrt{x}}\]
Ví dụ 30 : \[\large x = 2007 + \sqrt{2007 + \sqrt{x} }\]
Lời giải : ĐK : \[\large x > 0\]
Đặt : \[\large t = 2007 + \sqrt{x}\] (1)
PT \[\large\left\{{x = 2007 + \sqrt{t} (2) } \\{t = 2007 + \sqrt{x}(3)}\]
Lấy (3) trừ (2) ta được :
\[\large x - t = \sqrt{t} - \sqrt{x}\]
\[\large (\sqrt{t} - \sqrt{x})(\sqrt{t} + \sqrt{x} + 1) = 0\]
\[\large x = t\]
(1) \[\large x - \sqrt{x} - 2007 = 0\]
\[\large x = \frac{8030 + 2\sqrt{8029} }{4}\] (Do \[\large x > 0\])
Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :
Ví dụ 31 : \[\large x^2 - 2x = 2\sqrt{2x - 1} \]
Lời giải : ĐK : \[\large x \geq \frac{1}{2}\]
Đặt\[\large \sqrt{2x - 1} = ay + b \].
Chọn a, b để hệ :
\[\large\left\{{x^2 - 2x = 2(ay + b) \\{(ay + b)^2 = 2x - 1}\] (\[\large x \geq \frac{1}{2} ; y \geq 1\]) (*)
là hệ đối xứng .
Lấy \[\large a = 1 , b = - 1 \]ta được hệ :
\[\large\left\{{x^2 - 2x = 2(y - 1) \\{y^2 - 2y = 2(x - 1)}\]
\[\large\left\{{x^2 - 2x = 2(y - 1) \\{x^2 - y^2 = 0}\]
Giải hệ trên ta được : \[\large x = y = 2 \pm \sqrt{2}\]
Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương tr“nh là : \[\large x = 2 + \sqrt{2}\]


sưu tầm từ mathscope.org

 

[liti]

Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương tr“nh : \[\large \sqrt[n]{ax + b} = c(dx + e)^n + \alpha x + \beta\]
Với các hệ số thỏa mãn :
\[\large\left\{{d = ac + \alpha} \\ {e = bc + \beta }\]
Cách giải :
Đặt \[\large dy + e = \sqrt[n]{ax + b}\]
Ví dụ 32 : \[\large \sqrt{\frac{4x + 9}{28} } = 7x^2 + 7\]
Lời giải : ĐK : \[\large x \geq - \frac{9}{4}\]
PT \[ \large \sqrt{\frac{4x + 9}{28} } = 7(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{7}{4}\]
- Kiểm tra : \[\large a = \frac{1}{7} ; b = \frac{9}{28} ; c = 7 ; d = 1 ; e = \frac{1}{2} ; \alpha = 0 ; \beta = - \frac{7}{4} .\]
Đặt : \[\large y + \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{4x + 9}{28} }\]
\[\large y^2 + y + \frac{1}{4} = \frac{4x + 9}{28}\]
\[\large 7y^2 + 7y + \frac{7}{4} = x + \frac{9}{4}\]
\[\large x + \frac{1}{2} = 7y^2 + 7\] (1)
Mặt khác : \[\large y + \frac{1}{2} = 7x^2 + 7x\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
\[\large\left\{{ x + \frac{1}{2} = 7y^2 + 7 \\{ y + \frac{1}{2} = 7x^2 + 7x }\]Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .
Ví dụ 33 : \[\large x^2 - 6x + 3 = \sqrt{x + 3} , x \geq 3 .\]
Lời giải :
PT \[\large (x - 3)^2 - 6 = \sqrt{x + 3}\]
- Kiểm tra : \[\large a = 1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 1 ; e = -3 ; \alpha = 0 ; \beta = - 6 .\]
Đặt : \[\large y - 3 = \sqrt{x + 3}\]
\[\large y^2 - 6y + 9 = x + 3\]
\[\large x - 3 = y^2 - 6y + 3\] (1)
Mặt khác : \[\large y - 3 = x^2 - 6x + 3\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
\[\large\left\{{x - 3 = y^2 - 6y + 3 \\{ y - 3 = x^2 - 6x + 3 }\]
Ví dụ 34 : \[\large \sqrt[3]{3x - 5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25\]
Lời giải :
PT \[\large \sqrt[3]{3x - 5} = (2x)^3 - 3.4x^2.3 + 3.9.2x - 27 - x + 2\]
\[\large \sqrt[3]{3x - 5} = (2x -3)^3 - x + 2\]
- Kiểm tra :\[ \large a = 3 ; b = - 5 ; c = 1 ; d = 2 ; e = - 3 ; \alpha = - 1 ; \beta = 2 .\]
Đặt : \[\large 2y - 3 = \sqrt[3]{3x - 5} \]
\[\large (2y - 3)^3 = 3x - 5\]
\[\large 8y^3 - 36y^2 + 54y - 27 = 3x - 5\]
\[\large 8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3\] (1)
Mặt khác : \[\large 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
\[\large\left\{{8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3 \\{8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3}\]
Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!

 

[chibi maruko]

Dạng 4 :
Nội dung phương pháp :
Cho phương tr“nh : \[\large \sqrt[n]{ax + b} = c(dx + e)^n + \alpha x + \beta\]
Với các hệ số thỏa mãn :
\[\large\left\{{d = ac + \alpha} \\ {e = bc + \beta }\]
Cách giải :
Đặt \[\large dy + e = \sqrt[n]{ax + b}\]
Ví dụ 32 : \[\large \sqrt{\frac{4x + 9}{28} } = 7x^2 + 7\]
Lời giải : ĐK : \[\large x \geq - \frac{9}{4}\]
PT \[ \large \sqrt{\frac{4x + 9}{28} } = 7(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{7}{4}\]
- Kiểm tra : \[\large a = \frac{1}{7} ; b = \frac{9}{28} ; c = 7 ; d = 1 ; e = \frac{1}{2} ; \alpha = 0 ; \beta = - \frac{7}{4} .\]
Đặt : \[\large y + \frac{1}{2} = \sqrt{\frac{4x + 9}{28} }\]
\[\large y^2 + y + \frac{1}{4} = \frac{4x + 9}{28}\]
\[\large 7y^2 + 7y + \frac{7}{4} = x + \frac{9}{4}\]
\[\large x + \frac{1}{2} = 7y^2 + 7\] (1)
Mặt khác : \[\large y + \frac{1}{2} = 7x^2 + 7x\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
\[\large\left\{{ x + \frac{1}{2} = 7y^2 + 7 \\{ y + \frac{1}{2} = 7x^2 + 7x }\]Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .
Ví dụ 33 : \[\large x^2 - 6x + 3 = \sqrt{x + 3} , x \geq 3 .\]
Lời giải :
PT \[\large (x - 3)^2 - 6 = \sqrt{x + 3}\]
- Kiểm tra : \[\large a = 1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 1 ; e = -3 ; \alpha = 0 ; \beta = - 6 .\]
Đặt : \[\large y - 3 = \sqrt{x + 3}\]
\[\large y^2 - 6y + 9 = x + 3\]
\[\large x - 3 = y^2 - 6y + 3\] (1)
Mặt khác : \[\large y - 3 = x^2 - 6x + 3\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
\[\large\left\{{x - 3 = y^2 - 6y + 3 \\{ y - 3 = x^2 - 6x + 3 }\]
Ví dụ 34 : \[\large \sqrt[3]{3x - 5} = 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25\]
Lời giải :
PT \[\large \sqrt[3]{3x - 5} = (2x)^3 - 3.4x^2.3 + 3.9.2x - 27 - x + 2\]
\[\large \sqrt[3]{3x - 5} = (2x -3)^3 - x + 2\]
- Kiểm tra :\[ \large a = 3 ; b = - 5 ; c = 1 ; d = 2 ; e = - 3 ; \alpha = - 1 ; \beta = 2 .\]
Đặt : \[\large 2y - 3 = \sqrt[3]{3x - 5} \]
\[\large (2y - 3)^3 = 3x - 5\]
\[\large 8y^3 - 36y^2 + 54y - 27 = 3x - 5\]
\[\large 8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3\] (1)
Mặt khác : \[\large 8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3\] (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ :
\[\large\left\{{8x^3 - 36x^2 + 53x - 25 = 2y - 3 \\{8y^3 - 36y^2 + 53y - 25 = 3x - y - 3}\]
Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!!

Chài Cái này hồi trước tràn lan bên 3t vs maths rùi mừk

 

[liti]

Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

Dạng 1: Phương trình
\[\sqrt{f(x,m)}=\sqrt{g(x,m)}\]
\[<=> f(x,m)=g(x,m)\geq0\]
\[<=>\left{\begin{x\in D}\\{x,m)=g(x,m)\]

Dạng 2: phương trình:
\[\sqrt{f(x,m)}=g(x,m)\]
\[<=>\left{\begin{g(m,x)}\geq0}\\{f(x,m)=g^2(x,m)\]
( g(x,m) phải có nghĩa)

Dạng 3: Phương trình:
\[\sqrt{f(x,m)}+\sqrt{g(x,m)}=\sqrt{h(x,m)}\]
\[<=>\left{\begin{f(x,m)\geq0}\\{g(x,m)\geq0}\\{f(x,m)+g(x,m)+2\sqrt{f(x,m).g(x,m)}=h(x,m)\]
(f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa)

Ví dụ minh hoạ :
VD1: tìm m để pt sau có nghiệm:
\[\sqrt{-x^2+3x-2}=\sqrt{2m+x-x^2}\]
LG:
Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng:
\[-x^2+3x-2=2mx+x-x^2\geq0\]
\[<=>\left{\begin{x^2+3x-2\geq0}\\{x=m+1} <=>\left{\begin{1\leq x\leq2}\\{x=m+1\]
Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:
\[1\leq m+1\leq2<=>o\leq m\leq1\]

(ST)

 

[liti]

Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 1

VD1: GPT: \[sqrt{x^2-3x+3}+sqrt{x^2-3x+6}=3\]
Đặt \[t=x^2-3x+3\], ta có:
\[t=(x-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}\]
do đó điều kiện cho ẩn phụlà \[t\geq\frac{3}{4}\]
Khi đó phương trình có dạng :
\[sqrt{t}+sqrt{t+3}=3 <=>t+t+3+2sqrt{t(t+3)}=9 <=> sqrt{t(t+3)}=3-t\]
\[<=>\left{\begin{3-t\geq0}\\{t(t+3)=(3-t)^2\]
\[<=>\left{\begin{t\leq3}\\{t=1\]
\[<=> t=x^2-3x+3=1\]
Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2

VD2:GPT: \[2\sqrt[n]{(1+x)^2\]+\[3\sqrt[n]{(1-x^2)}\]+\[\sqrt[n]{(1-x)^2}\]=0 (1)

Nx:\[ x^2=1\] không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho \[\sqrt[n]{1-x^2}\]được

\[(1)<=>\sqrt[n]{\frac{1+x}{1-x}}+\sqrt[n]{\frac{1-x}{1+x}}+3=0\] (2)
Đặt \[t=\sqrt[n]{\frac{1+x}{1-x}\]} , khi đó
(2) \[<=> 2t+\frac{1}{t}+3=0 <=>2t^2+3t+1=0 <=>t=-1\] hoặc t=-1/2

Bây giờ xét 2 trường hợp:
TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên bị loại. Vậy pt vô nghiệm.
TH2: Nếu n lẻ
Với \[t=-1 <=>\frac{1-x}{1+x}=-1\] ( vô nghiệm)
Với \[t=-1/2 <=>\frac{1-x}{1+x}=\frac{-1}{2^n} <=> x=\frac{1+2^n}{1-2^n}\]
Vậy...


Bài tập tương tự: Giải các pt sau:

\[a>x+\frac{x}{sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}\]
b>Giải và biện luận pt :\[sqrt{x}+sqrt{4-x}=m\]
\[c> x^3+sqrt{(1-x^2)^3}=x sqrt{2(1-x^2)}\]

(ST)

 

[liti]

Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 2:

\[\sqrt[3]{2-x} = 1-sqrt{x-1}\]

Giải: Đk:\[x\geq1\]
đặt : \[\left{\begin{u=\sqrt[3]{2-x}\\{v=\sqrt{x-1\]
\[v\geq0 => u^3+v^2=1\]
Khi đó pt được chuyển thành hệ:
\[\left{\begin{u^3+v^2=1}\\{u+v=1\]
giải ra được \[u\in({0,1,-2})\] hay \[x\in({2,1,10})\]

Bài tập tương tự:

Giải các pt sau:
\[a>\sqrt[3]{9-x}=2-sqrt{x-1}\]
b> Giải và biện luận : \[sqrt{x}+sqrt{4-x}=m\]


ví dụ:
\[t=sqrt{x^2-2x+5}=sqrt{(x-1)^2+4}\geq2.\]
- Sử dụng BĐT,ví dụ:
\[t=sqrt{3+x}+sqrt{6-x}\]
\[t^2=(sqrt{3+x}+sqrt{6-x})^2=3+x+6-x+2sqrt{(3+x)(6-x)}\geq9 =>t\geq3sqrt{2}\]
Vậy Đk cho ẩn phụ là : \[3\leq t\leq3sqrt{2]\]
-Sử dụng đạo hàm [/b]

Ví dụ

VD1: GPT: \[sqrt{x^2-3x+3}+sqrt{x^2-3x+6}=3\]
Đặt \[t=x^2-3x+3\], ta có:
\[t=(x-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}\geq\frac{3}{4}\]
do đó điều kiện cho ẩn phụlà \[t\geq\frac{3}{4}\]
Khi đó phương trình có dạng :
\[sqrt{t}+sqrt{t+3}=3 <=>t+t+3+2sqrt{t(t+3)}=9 <=> sqrt{t(t+3)}=3-t\]
\[<=>\left{\begin{3-t\geq0}\\{t(t+3)=(3-t)^2\]
\[<=>\left{\begin{t\leq3}\\{t=1\]
\[<=> t=x^2-3x+3=1\]
Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2






Bài tập tương tự: Giải các pt sau:

\[a>x+\frac{x}{sqrt{x^2-1}}=\frac{35}{12}\]

b>Giải và biện luận pt :\[sqrt{x}+sqrt{4-x}=m\]

\[c> x^3+sqrt{(1-x^2)^3}=x sqrt{2(1-x^2)}\]

(ST)

 

[ngoẻo]

Từ (1) và (2) ta có hệ :

Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải .

nhiêù cái vô lý mù =.=! chán

 

[killerfishqn682]

Thank U very much for Ur hard-working:burn_joss_stick::burn_joss_stick::burn_joss_stick: