Bài tập hàm số liên tục

[ASNL1234]

Cho: a,b,c >0
\[{a}^{2} + {b}^{2} = {c}^{2}\]
CMR: \[{a}^{x} + {b}^{x} = {c}^{x}\] có duy nhất 1 nghiệm

 

[Không phải cháu]

Cho: a,b,c >0
\[{a}^{2} + {b}^{2} = {c}^{2}\]
CMR: \[{a}^{x} + {b}^{x} = {c}^{x}\] có duy nhất 1 nghiệm

Vì \[a,b,c>0\] và \[a^2+b^2=c^2\] nên \[a<c\] và \[b<c\]

Xét hàm số \[y=\left( \frac{a}{c}\right) ^x +\left( \frac{b}{c}\right) ^x\]

Hàm số này là hàm đơn điệu giảm trên R nên chỉ cắt đường thẳng y=1 tại duy nhất một điểm (Định lý trong SGK Đại số 11 bài Đạo hàm). Do đó phương trình \[\left( \frac{a}{c}\right) ^x +\left( \frac{b}{c}\right) ^x=1\] có duy nhất một nghiệm.

Vậy phương trình \[a^x+b^x=c^x\] có duy nhất một nghiệm