Bài 8: Quan hệ chia hết và tính chất -Toán 6

[Trang Dimple]

Toán 6- Bài 8: Quan hệ chia hết và tính chất​

1. Quan hệ chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0).

Nếu có số tự nhiên k sao cho a = kb thì ta nói a chia hết cho b kí hiệu là a

b.

Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu là a

b.

+ Ước và bội:

Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b.

Ta kí hiệu Ư(a) là tập hợp các ước của a và B(b) là tập hợp các bội của b.

Ví dụ 2. Khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) 20 chia hết cho 5, 5 là ước của 20 và 20 là bội của 5.

b) 14 chia hết cho 3, 3 là ước của 14 và 14 là bội của 3.

c) 36 chia hết cho 9, 36 là ước của 9 và 9 là bội của 36.

Lời giải

a) Khẳng định a) đúng.

b) Vì 14 không chia hết cho 3 nên khẳng định b sai.

c) 36 chia hết cho 9 là đúng, trong đó 9 là ước của 36 và 36 là bội của 9 nên c sai.

+ Cách tìm ước và bội:

Muốn tìm các ước của a (a > 1), ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của a.

Ta có thể tìm các bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3; …

Ví dụ 3.

a) Hãy tìm tất cả các ước của 12.

b) Hãy tìm tất cả các bội của 8 nhỏ hơn 60.

Lời giải

a) Lần lượt chia 12 cho các số từ 1 đến 12, ta thấy 12 chia hết cho 1; 2; 3; 4; 6; 12 nên Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

b) Lần lượt nhân 8 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ta được các bội của 8 là: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; …

Các bội nhỏ hơn 60 của 8 là: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56.

2. Tính chất chia hết của một tổng

+ Tính chất 1

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

- Nếu a

m và b

m thì (a + b)

m.

- Nếu a

m, b

m và c

m thì (a + b + c)

m.

​

 

[Trang Dimple]

Ví dụ 4. Không thực hiện phép tính, hãy cho biết:

a) 20 + 15 có chia hết cho 5 không. Vì sao?

b) 72 + 18 – 12 có chia hết cho 3 không. Vì sao?

Lời giải

a) Ta có 20

5 và 15

5 nên theo tính chất 1 thì tổng (20 + 15)

5.

b) Ta có 72

3, 18

3 và 12

3 nên theo tính chất 1 thì tổng (72 + 18 – 12)

3.

 

[Trang Dimple]

+ Tính chất 2

Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

- Nếu a

m và b

m thì (a + b)

m .

- Nếu a

m, b m và c

m thì (a + b + c)

m.

Chú ý: Hai số không chia hết cho một số đã cho thì chưa chắc tổng của chúng không chia hết cho số đó.

Ví dụ 5. Các phát biểu sau đúng hay sai?

a) 219.7 + 12 chia hết cho 7.

b) 2.3.4.11 + 22 + 45 không chia hết cho 11.

c) 8.12 + 9 chia hết cho 5.

Lời giải

a) Vì 219.7 là tích của 7 với số 219 nên chia hết cho 7 nhưng 12 không chia hết cho 7 nên 219.7 + 12 không chia hết cho 7. Do đó a sai.

b) Vì 2.3.4.11 là tích của 11 với các số 2; 3; 4 nên chia hết cho 11, 22 cũng chia hết cho 11 nhưng 45 không chia hết cho 11 nên 2.3.4.11 + 22 + 45 không chia hết cho 11. Do đó b đúng.

c) Ta có 8.12 không chia hết cho 5, 9 cũng không chia hết cho 5 nhưng tổng 8.12 + 9 = 105 lại chia hết cho 5. Do đó c đúng.

 

[Trang Dimple]

Bài tập Quan hệ chia hết và tính chất​

Bài 1. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:
a) x ∈ B(12) và 10 < x < 40.
b) y ∈ Ư(20) và y ≥ 5 .
Lời giải
a) Ta có: B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; …}
⇒ x ∈ {0; 12; 24; 36; ...}
Mà 10 < x < 40 nên x ∈ {12; 24; 36}.
Vậy x ∈ {12; 24; 36}.
b) Ta có: Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
⇒ y ∈ {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Mà y ≥ 5 nên y ∈ {5; 10; 20}.
Bài 2. Lớp 6A có 36 học sinh, cô giáo muốn chia đều số học sinh của lớp thành các nhóm để thực hiện các dự án học tập. Hoàn thành bảng sau vào vở:​

Số nhóm​	Số người ở một nhóm​
3​	​
​	9​
6​	​
​	4​
12​	​

Lời giải
Nếu số nhóm là 3 thì số người ở một nhóm là: 36:3 = 12 (người).
Nếu số người ở một nhóm là 9 thì số nhóm là: 36:9 = 4 (nhóm).
Nếu số nhóm là 6 thì số người ở một nhóm là: 36:6 = 6 (người).
Nếu số người ở một nhóm là 4 thì số nhóm là: 36:4 = 9 (người).
Nếu số người ở một nhóm là 3 thì số nhóm là: 36:3 = 12 (nhóm).
Ta có bảng sau:​

Số nhóm​	Số người ở một nhóm​
3​	12​
4​	9​
6​	6​
9​	4​
12​	3​

Bài 3.
a) Tìm m thuộc tập {21; 22; 23; 24; 25; 26}, biết 56 – m chia hết 7;
b) Tìm n thuộc tập {18; 20; 22; 24; 26; 28; 30}, biết 36 + n không chia hết cho 6.
Lời giải
a) Vì 56 chia hết cho 7 để 56 – m chia hết cho 7 thì m phải là một số chia hết cho 7.
Mà m thuộc tập {21; 22; 23; 24; 25; 26}
Suy ra m = 21.
Vậy m = 21.
b) Vì 36 chia hết cho 6 nên để 36 + n không chia hết cho 6 thì n phải không chia hết cho 6.
Mà n thuộc tập {18; 20; 22; 24; 26; 28; 30}.
Suy ra n thuộc {20; 22; 26; 28}.
Vậy n ∈ {20; 22; 26; 28}.​

 

[Trang Dimple]

Câu hỏi 1 trang 30 Toán lớp 6 Tập 1: Tìm kí hiệu thích hợp (

) thay cho dấu “?”

24

6 45

10 35

5 42

4

Lời giải:

+) Số 24 chia hết cho 6 vì 24 : 6 = 4 và không có dư nên 24

6

+) Số 45 không chia hết cho 10 vì 45 chia 10 bằng 4 và dư 5 nên 45

10

+) Số 35 chia hết cho 5 vì 35 : 5 = 7 và không có dư nên 35

5

+) Số 42 không chia hết cho 4 vì 42 chia 4 bằng 10 và dư 2 nên 42

4.

 

[Trang Dimple]

Câu hỏi 2 trang 30 Toán lớp 6 Tập 1: Bạn Vuông hay Tròn đúng nhỉ?

Lời giải:

Ta có: 15 : 5 = 3 và không có dư nên

15 : 6 = 2 và dư 3 nên

Do đó 5 là ước của 15 và 6 không là ước của 15.

Vậy bạn Vuông đúng.

 

[Trang Dimple]

Hoạt động 1 trang 31 Toán lớp 6 Tập 1: Lần lượt chia 12 cho các số từ 1 đến 12, em hãy viết tập hợp tất cả các ước của 12.
Lời giải:
Ta sẽ thực hiện phép chia 12 cho các số từ 1 đến 12
Ta có bảng sau:​

Số bị chia​

12​

Số chia​

1​

2​

3​

4​

5​

6​

7​

8​

9​

10​

11​

12​

Thương​

12​

6​

4​

3​

2​

2​

1​

1​

1​

1​

1​

1​

Số dư​

0​

0​

0​

0​

2​

0​

5​

4​

3​

2​

1​

0​

​

Qua bảng trên ta thấy: phép chia có số dư bằng 0 là phép chia hết, do đó 12 chia hết cho các số: 1; 2; 3; 4; 6; 12
Hay 1; 2; 3; 4; 6; 12 là các ước của 12.
Vậy Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}​

 

[Trang Dimple]

Hoạt động 2 trang 31 Toán lớp 6 Tập 1: Bằng cách nhân 8 với 0; 1; 2; …. Em hãy viết các bội của 8 nhỏ hơn 80
Lời giải:
Ta sẽ thực hiện phép nhân 8 với các số từ 0;1; 2; 3; 4….
Ta có bảng sau:​

Thừa số​

8​

Thừa số​

0​

1​

2​

3​

4​

5​

6​

7​

8​

9​

10​

11​

Tích​

0​

8​

16​

24​

32​

40​

48​

56​

64​

72​

80​

88​

​

Từ bảng trên ta thấy các bội của 8 nhỏ hơn 80 là: 0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72
Nên ta viết: B(8) = {0; 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72}​

 

[Trang Dimple]

Luyện tập 1 trang 31 Toán lớp 6 Tập 1:

a) Hãy tìm tất cả các ước của 20;

b) Hãy tìm tất cả các bội nhỏ hơn 50 của 4.

Lời giải:

a) Lần lượt chia 20 cho các số tự nhiên từ 1 đến 20, ta thấy 20 chia hết cho 1; 2; 4; 5; 10; 20 nên

Ư(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}.

b) Lần lượt nhân 4 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; … ta được các bội của 4 là: 0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48; 52;…

Các bội của 4 nhỏ hơn 50 là: B(4) = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40; 44; 48}

 

[Trang Dimple]

Thử thách nhỏ trang 31 Toán lớp 6 Tập 1: Hãy tìm ba ước khác nhau của 12 sao cho tổng của chúng bằng 12.

Lời giải:

Lần lượt chia 12 cho các số tự nhiên từ 1 đến 12, ta thấy 12 chia hết cho 1; 2; 3; 4; 6; 12 nên

Ư(12) = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

Từ các ước ta nhận thấy:

12 = 2 + 4 + 6

Nên ba ước khác nhau của 12 có tổng là 12 là: 2; 4; 6.

 

[Trang Dimple]

Hoạt động 3 trang 31 Toán lớp 6 Tập 1: Viết hai số chia hết cho 5. Tổng của chúng có chia hết cho 5 không?

Lời giải:

Ta chọn hai số chia hết cho 5 là: 10 và 15

Tổng của chúng là: 10 + 15 = 25

Vì 25: 5 = 5

Nên 25 chia hết cho 5 nên tổng (10 + 15) chia hết cho 5.

 

[Trang Dimple]

Hoạt động 4 trang 31 Toán lớp 6 Tập 1: Viết ba số chia hết cho 7. Tổng của chúng có chia hết cho 7 không?

Lời giải:

Ta chọn ba số chia hết cho 7 là: 7; 14; 21

Tổng của chúng là: 7 + 14 + 21 = 42

Vì 42 : 7 = 6

Nên 42 chia hết cho 7 nên tổng (7 + 14 + 21) chia hết cho 7.

 

[Trang Dimple]

Luyện tập 2 trang 32 Toán lớp 6 Tập 1:

Không thực hiện phép tính, hãy cho biết:

a) 24 + 48 có chia hết cho 4 không. Vì sao?

b) 48 + 12 – 36 có chia hết cho 6 không. Vì sao?

Lời giải:

a) Vì 24 ⋮ 4 và 48 ⋮ 4 nên theo tính chất chia hết của một tổng (24 + 48) ⋮ 4

b) Vì 48 ⋮ 6; 12 ⋮ 6 và nên (48 + 12 - 36) ⋮ 6

 

[Trang Dimple]

Hoạt động 4 trang 31 Toán lớp 6 Tập 1: Viết ba số chia hết cho 7. Tổng của chúng có chia hết cho 7 không?

Lời giải:

Ta chọn ba số chia hết cho 7 là: 7; 14; 21

Tổng của chúng là: 7 + 14 + 21 = 42

Vì 42 : 7 = 6

Nên 42 chia hết cho 7 nên tổng (7 + 14 + 21) chia hết cho 7.

 

[Trang Dimple]

Bài 2.7 trang 33 Toán lớp 6 Tập 1:
Cô giáo muốn chia đều 40 học sinh để thực hiện các dự án học tập. Hoàn thành bảng sau vào vở (bỏ trống trong trường hợp không chia được)​

Số nhóm​	Số người ở một nhóm​
4​	?​
?​	8​
6​	?​
8​	?​
?​	4​

Lời giải:
Ta thấy số học sinh bằng số nhóm nhân với số người ở một nhóm (Số người, số nhóm đều là số tự nhiên khác 0)
Do đó: Số nhóm = Số học sinh : Số người ở một nhóm
Số người ở một nhóm = Số học sinh : Số nhóm
Ta có bảng sau:​

Số nhóm​	Số người ở một nhóm​
4​	40 : 4 = 10​
40 : 8 = 5​	8​
6​
8​	40 : 8 = 5​
40 : 4 = 10​	4​

Với số nhóm là 6 thì số người ở một nhóm là: 40 : 6 vì 40

6 nên bỏ trống.​

 

[Trang Dimple]

Bài 2.6 trang 33 Toán lớp 6 Tập 1:

Khẳng định nào sau đây đúng?

a) 219.7 + 8 chia hết cho 7;

b) 8.12 + 9 chia hết cho 3.

Lời giải:

a) Vì 7 ⁝ 7 nên (219.7) ⁝ 7 và 8

7 do đó (219.7 + 8)

7.

b) Vì 12 ⁝ 3nên (8.12) ⁝ 3 và 9 ⁝ 3 do đó (8.12 + 9) ⁝ 3.

Vậy khẳng định b là đúng.

 

[Trang Dimple]

Bài 2.8 trang 33 Toán lớp 6 Tập 1: Đội thể thao của trường có 45 vận động viên. Huấn luyện viên muốn chia thành các nhóm để luyện tập sao cho mỗi nhóm có ít nhất 2 người và không quá 10 người. Biết rằng các nhóm có số người như nhau, em hãy giúp huấn luyện viên chia nhé.

Lời giải:

Gọi số người mỗi nhóm được chia là x (người)

Ta có mỗi nhóm có ít nhất 2 người và không quá 10 người nên

Vì đội thể thao của trường có 45 vận động viên và huấn luyện viên chia thành các nhóm mà mỗi nhóm có số người như nhau nên 45 ⁝ x hay x ∈ Ư(45)

Ta lại có Ư(45) = {1; 3; 5; 9; 15; 45}

Mà 2 ≤ x ≤ 10 do đó x ∈ {3; 5; 9}

Với số người mỗi nhóm được chia là 3 người thì số nhóm là: 45 : 3 = 15 (nhóm)

Với số người mỗi nhóm được chia là 5 người thì số nhóm là: 45 : 5 = 9 (nhóm)

Với số người mỗi nhóm được chia là 9 người thì số nhóm là: 45 : 9 = 5 (nhóm)

Vậy huấn luyện viên có thể chia thành 15 nhóm, 9 nhóm hoặc 5 nhóm

 

[Trang Dimple]

Bài 2.9 trang 33 Toán lớp 6 Tập 1:

a) Tìm x thuộc tập {23; 24; 25; 26} biết 56 - x chia hết cho 8

b) Tìm x thuộc tập {22; 24; 45; 48} biết 60 + x không chia hết cho 6

Lời giải:

a) Vì 56 - x chia hết cho 8 mà 56 chia hết cho 8 nên theo tính chất chia hết của một hiệu thì x chia hết cho 8

Mà x thuộc tập {23; 24; 25; 26}, trong các số đó, chỉ có số 24 chia hết cho 8 nên x = 24

Vậy x ∈ 24 .

b) Vì 60 + x không chia hết cho 6 mà 60 chia hết cho 6 nên x không chia hết cho 6

Mà x thuộc tập {22; 24; 45; 48}, trong các số đó thì có hai số 22 và 45 không chia hết cho 6 nên x = 22 hoặc x = 45

Vậy x ∈ { 22;45 }.