1 Số Bài Toán Về Tích Phân Nguyên Hàm

[ChipsMunk]

1) \[I=\int \frac{lnx}{x^{3}}.dx\]
2) \[I=\int \frac{x}{e^{x}}.dx\]
* Tìm nguyên hàm:
3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

P/S: Mọi người cùng làm Nha.=.='

 

[uocmo_kchodoi]

Tích phân.
1.
Đặt \[\begin{cases}u=lnx\\dv=\frac{1}{x^{3}}dx\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=\frac{1}{x}dx\\v=-\frac{1}{2x^{2}}\end{cases}\]
\[I=\frac{-1}{2x^{2}}lnx.dx\mid +\int \frac{1}{2x^{3}}dx\]
\[I=\frac{-1}{2x^{2}}lnx.dx\mid -\frac{1}{4x^{2}}\mid \]

2.\[\begin{cases}u=x\\dv=\frac{1}{e^{x}}dx\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du=dx\\v=-\frac{1}{e^{x}}\end{cases}\]
Tương tự như câu 1.

.

 

[uocmo_kchodoi]

Tính nguyên hàm.
Để tính nguyên hàm ta đưa về tính tích phân.Kết quả từ phép tính tích phân là nguyên hàm cần tìm.
1. \[I=\int cot^{2}\left(\frac{9x}{4} \right)dx=\int \left[cot^{2}x\left(\frac{9x}{4} \right)+1 \right]dx-\int dx\]
\[=\frac{4}{9}\int \left[cot^{2}\left(\frac{9x}{4} \right)+1 \right].d\left(\frac{9x}{4} \right) -\int dx\]
\[=-\frac{4}{9}.cot\left(\frac{9x}{4} \right)\mid -x\mid\]
=> nguyên hàm cần tìm là \[=-\frac{4}{9}.cot\left(\frac{9x}{4} \right) -x\]

 

[uocmo_kchodoi]

5. \[I=\int \left(sin^{6}x+cos^{6}x \right)dx\]
\[=\int \left(1-3sin^{2}x.cos^{2}x \right)dx\]
\[=\int dx-\frac{3}{8}\int sin^{2}2x.d2x \]
\[=\int dx-\frac{3}{16}\int \left(1-cos2x \right)dx\]
\[=\int dx-\frac{3}{16}\int d2x+\frac{3}{16}\int cos2x.d2x\]

7. \[I=\int \frac{cotx}{1+sinx}.dx\]
\[=\int \frac{1}{sinx\left(1+sinx \right)}.dsinx\]
\[=\int \frac{1}{sinx}-\int \frac{1}{1+sinx}.dsinx\]

8.\[I=\int \frac{1}{sin2x-sinx}\]
\[=\int \frac{1}{sinx\left(2cosx-1 \right)}dx\]
\[=\int \frac{dcosx}{\left(1-cos^{2}x \right)\left(2cosx-1 \right)}\]
Đặt cosx=t . đk của t....
\[I=\int \frac{dt}{\left(1-t \right)\left(1+t \right)\left(2t-1 \right)}\]
\[=\int \frac{1}{\left(t+1 \right)\left(2t-1 \right)}dt+\int \frac{1}{\left(t-1 \right)\left(2t-1 \right)}dt-\int\frac{1}{\left(t-1 \right)\left(t+1 \right)}dt \]

9.\[I=\int \frac{x^{4}-2}{x^{3}-x}=\int xdx+\int \frac{x^{2}-2}{x^{3}-x}dx\]
\[=\frac{1}{2}x^{2}\mid +\frac{1}{3}\int \frac{1}{x^{3}-x}d\left(x^{3}-x \right)-\frac{5}{3}\int \frac{1}{x^{3}-1}dx\]
\[I_{1}=-\frac{5}{6}\int \frac{dx^{2}}{x^{2}\left(x^{2}-1 \right)}\] . đến đó thì dễ rồi c.

16.\[I=\frac{1}{x^{3}-x}dx=\int \frac{x}{x^{2}\left(x^{2}-1 \right)}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^{2}\left(x^{2}-1 \right)}dx^{2}\]
(chú ý cận fai khác 0.

17. NHân liên hợp.

 

[uocmo_kchodoi]

10. \[I=\int \frac{2x^{2}+2x+5}{x^{3}-3x+2}\]
\[=\int \frac{2\left(x-1 \right)^{2}+6\left(x+2 \right)-9}{\left(x-1 \right)^{2}\left(x+2 \right)}dx\]
\[=2\int \frac{1}{x+2}dx+6\int \frac{1}{\left(x-1 \right)^{2}}d\left(x-1 \right)-9\int \frac{1}{\left(x-1 \right)^{2}\left(x+2 \right)}dx\]
\[=2ln\left|x+2 \right|\mid -\frac{6}{x-1}\mid -I_{1}\]
Tính I1.
\[I_{1}=\int \frac{-x+4}{x^{2}-2x+1}dx+\int \frac{1}{x+2}dx\]
\[=-\int \frac{x-2}{x^{2}-2x+1}dx+\int \frac{2}{x^{2}-x+1}dx+\int \frac{1}{x+2}dx\]
\[=-ln\left(x-1 \right)^{2}\mid -\frac{2}{x-1}\mid +ln\left|x+2 \right|\]

Vậy nguyên hàm của I là. \[=2ln\left|x+2 \right|-\frac{6}{x-1}+ln\left(x-1 \right)^{2} +\frac{2}{x-1} ln\left|x+2 \right|\]

 

[1+2=3]

dạng toán Tích Phân này khó hiểu ghê nhá

 

[ChipsMunk]

\[\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}{\frac{dx}{3sin^2{x}+cos^2{}}}\]

 

[khanhsy]

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{3-2cos^2x}=\frac{1}{\sqrt{6}}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2cosx+\sqrt{6}}} +\frac{1}{-2cosx+\sqrt{6}}} \right) dx \]

Tới đây đặt \[t=tan\frac{x}{2}\] được rồi em nhỉ

 

[khanhsy]

Ví dụ một bài thông qua giới hạn

[Hôm nay 10:18 PM] khanhsy:

\[\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{1}{4-sin^2x}\]

\[\I:=2\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}\frac{dx}{7+cos2x}\]

\[t=tanx\rightarrow dt=\(tan^2x+1\)dx\]

\[\I:=2\lim_{a \to +\infty}\int_{0}^a \frac{\frac{dt}{t^2+1}}{7+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\lim_{a \to +\infty}\frac{1}{3}\int_{0}^a \frac{dt}{t^2+\frac{4}{3}}=\lim_{a \to +\infty}\frac{\sqrt{3}}{2}Arctan \frac{t\sqrt{3}}{2}\|_{0}^a =\frac{\pi\sqrt{3}}{4}\]