Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com - Định hướng Forum Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN
Kết nối: VNK X - VNK groups | Nhà Tài Trợ: BhnongFood X - Bhnong groups - Đặt mua Bánh Bhnong

Trả lời chủ đề

Nội dung: <blockquote data-quote="NguoiDien" data-source="post: 10504" data-attributes="member: 75">Tiếp...............Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để  phương trình: \[mx^2+1=cosx\] có đúng một nghiệm \[x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right)\]. Giải:Ta thấy để pt có nghiệm thì \[m\le 0\]. Khi đó:Phương trình đã cho\[\Leftrightarrow \frac{cosx-1}{x^2}=m\Leftrightarrow \frac{sin^2\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right) ^2}=-2m\].Xét hàm số : \[f(t)=\frac{sint}{t}\] với \[t\in \left( 0;\frac{\pi}{4}\right)\] Ta có: \[f'(t)=\frac{t.cost-sint}{t^2}=\frac{cost(t-tant)}{t^2}<0\] với \[\foral t\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\Rightarrow f(t)\] nghịch biến.Mà: \[f\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\] và \[\lim\limits_{t\rightarrow 0}f(t)=1\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\pi}<f(t)<1\Rightarrow \frac{8}{\pi ^2}<\frac{sin^2\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right) ^2}<1\quad\foral x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right)\] Vậy phương trình có đúng một nghiệm \[x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow \frac{8}{\pi ^2}<-2m<1\] \[\Leftrightarrow -\frac{1}{2}<m<-\frac{4}{\pi ^2}\].Ví dụ 9: Tìm \[m\] để hệ phương trình : \[\left{ 3(x+1)^2+y-m=0 \\ x+\sqrt{xy}=1\] có ba cặp nghiệm phân biệt .Giải:Ta có : \[x+\sqrt{xy}=1\Leftrightarrow \sqrt{xy}=1-x\Leftrightarrow \left{ x\le 1 \\ y=\frac{x^2-2x+1}{x}\] (do \[x=0\] không là nghiệm phương trình ).Thay vào phương trình thứ nhất ta được: \[3x^2+6x+\frac{x^2-2x+1}{x}=m-3\quad (a)\].Hệ có ba cặp nghiệm \[\Leftrightarrow (a)\] có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn \[x\le 1\]  .Xét hàm số: \[f(x)=3x^2+6x+\frac{x^2-2x+1}{x}=3x^2+7x-2+\frac{1}{x}\] với \[x\le 1\].\[\Rightarrow f'(x)=6x+7-\frac{1}{x^2}=\frac{6x^3+7x^2-1}{x^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1;\quad x=-\frac{1}{2};\quad x=\frac{1}{3}\].Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \[(a)\] có ba nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow \left[ \frac{11}{3}\le m-3\le 9 \\ -7\le m-3\le -\frac{27}{4}\Leftrightarrow \left[ \frac{20}{3}\le m\le 12 \\ -4\le m\le -\frac{15}{3}\] .Vậy \[\frac{20}{3}\le m\le 12; \quad -4\le m\le -\frac{15}{4}\] là những giá trị cần tìm.  Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:* Khi đặt \[t=u(x),\quad x\in D\], ta tìm được \[t\in Y\] và phương trình \[f(x,m)=0\] (1) trở thành \[g(t,m)=0\] (2). Khi đó (1) có nghiệm \[x\in D\Leftrightarrow \]  (2) có nghiệm \[t\in Y\].* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm \[u(x)\] ).* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị \[t\in Y\] thì phương trình \[u(x)=t\] có bao nhiêu nghiệm \[x\in D\]?.Ví dụ 10: Tìm \[m\] để các phương trình sau có nghiệm.1) \[\sqrt{x}+\sqrt{9-x}=\sqrt{-x^2+9x+m}\].2) \[\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{(3+x)(6-x)}=m\] .3) \[m(\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4})-\sqrt{x+2}=2\sqrt[4]{x^2-4}\]. Giải: 1) Điều kiện: \[0\le x\le 9\].Phương trình \[\Leftrightarrow 9+2\sqrt{x(9-x)}=-x^2+9x+m\Leftrightarrow 2-m=x(9-x)-2\sqrt{x(9-x)}\] Đặt \[t=\sqrt{x(9-x)}\Rightarrow 0\le t\le \frac{x+9-x}{2}=\frac{9}{2}\] Ta có phương trình : \[2-m=t^2-2t=f(t)\qquad (1)\].Phương trình đã cho có nghiệm \[\Leftrightarrow (1)\] có nghiệm \[t\in\left[ 0;\frac{9}{2}\right]\] Xét hàm số: \[f(t)\] với \[t\in\left[ 0;\frac{9}{2}\right]\], có \[f'(t)=2t-2>0\Rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow t=1\]  .Vậy phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow -1\le 2-m\le \frac{45}{4}\Leftrightarrow -\frac{37}{4}\le m\le 3\]. 2) Điều kiện: \[-3\le x\le 6\] Đặt \[t=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}\Rightarrow t^2=9+2\sqrt{(3+x)(6-x)}\Rightarrow \sqrt{(3+x)(6-x)}=\frac{t^2-1}{2}\] Phương trình đã cho trở thành: \[t-\frac{t^2-9}{2}=m\Leftrightarrow t^2-2t=9-2m\qquad (2)\].Xét hàm số \[t(x)=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}\Rightarrow t'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}-\frac{1}{2\sqrt{6-x}}\] \[\Rightarrow t'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{6-x}=\sqrt{x+3}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\]. Dựa vào bảng biến thiên của \[t(x)\Rightarrow t\in [3;3\sqrt{2}]\] Suy ra \[(1)\] có nghiệm \[\Leftrightarrow (2)\] có nghiệm \[t\in [3;3\sqrt{2}]\].Xét hàm số \[f(t)=t^2-2t\] với \[3\le t\le 3\sqrt{2}\], có \[f'(t)=2t-2>0\foral t\in [3;3\sqrt{2}]\]  Suy ra \[f(t)\] là hàm đồng biến trên \[[3;3\sqrt{2}]\] \[\Rightarrow 3=f(3)\le f(t)\le f(3\sqrt{2})=18-6\sqrt{2}\foral t\in [3;3\sqrt{2}]\] Vậy phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow 3\le 9-2m\le 18-6\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{6\sqrt{2}-9}{2}\le m\le 3\].  3) Điều kiện : \[x\ge 2\].Ta thấy \[x=2\]  không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho \[\sqrt[4]{x^2-4}\], ta được: \[m\left( \sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}+2\right)-\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}=2\qquad (*)\].Đặt \[t=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}>0\Rightarrow t^4(x-2)=x+2\Rightarrow x=\frac{(t^4+1)}{t^4-1}>2\] \[\Leftrightarrow \frac{4}{t^4-1}>0\Leftrightarrow t>1\]  Khi đó ( * ) trở thành:  \[m\left( \frac{1}{t}+2\right)-t=2\Leftrightarrow m=\frac{t^2+2t}{2t=1}=f(t)\qquad (3)\].Phương trình đã cho có nghiệm \[\Leftrightarrow (3)\] có nghiệm \[t>1\].Xét hàm số f(t) với \[t>1\], có: \[f'(t)=\frac{2t^2+2t+2}{(2t+1)^2}>0\foral t>1\].\[\Rightarrow f(t)>f(1)=1\foral t>1\].Vậy phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow m>1\]. Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của \[t\] .Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của \[t\]. Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn:Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t : \[2\sqrt{(3+x)(6-x)}\le 9\Rightarrow 9\le t^2\le 18\Rightarrow 3\le t\le 3\sqrt{2}\].Ở câu 3) để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:\[t=\sqrt[4]{1+\frac{1}{x-2}}\] vì \[\frac{1}{x-2}>0\foral x>2\Rightarrow t>1\].Ví dụ 11: Tìm \[m\] để các phương trình1) \[tan^2x+cot^2x+m(tanx+cotx)+3=0\]  có nghiệm .2) \[log_{3}^{2}x+\sqrt{log_{3}^{2}x+1}-2m-1=0\] có nghiệm trên \[[1;3^{\sqrt{3}}]\]. Giải:1) Đặt \[t=tanx+cotx\Rightarrow tan^2x+cot^2x=t^2-2\] và \[|t|\ge 2\] .Phương trình đã cho trở thành: \[t^2+mt+1=0\Leftrightarrow \frac{t^2+1}{t}=-m\quad (3)\] ( vì \[t\ne 0\]).Phương trình đã cho có nghiệm \[\Leftrightarrow (3)\] có nghiệm t thỏa mãn \[|t|\ge 2\].Xét hàm số \[f(t)=\frac{t^2+1}{t}\] với \[|t|\ge 2\], ta có: \[f'(t)=\frac{t^2-1}{t^2}>0\foral t:\quad |t|\ge 2\] Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow |m|\ge \frac{5}{2}\].2) Đặt \[t=\sqrt{log_{3}^{2}x+1}\Rightarrow log_{3}^{2}x=t^2-1\]. Với \[1\le x\le 3^{\sqrt{3}}\Rightarrow 1\le t\le 2\].Phương trình đã cho trở thành: \[t^2+t=2m+2\quad (2)\] Phương trình đã cho có nghiệm trên \[[1;3^{\sqrt{3}}]\Leftrightarrow (2)\] có nghiệm \[1\le t\le 2\] Xét hàm số \[f(t)=t^2+t\] với  \[1\le t\le 2\], ta thấy \[f(t)\] là hàm đồng biến trên \[[1;2]\]Suy ra \[2=f(1)\le f(t)\lef(2)=5\foral t\in [1;2]\]. Vậy phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow 2\le 2m+2\le 5\Leftrightarrow 0\le m\le \frac{3}{2}\] Ví dụ 12: Xác định  mọi giá trị của tham số m để hệ sau có  2 nghiệm phân biệt                   \[\left{ log_{\sqrt{3}}(x+1)-log_{\sqrt{3}(x-1)>log_{3}4\qquad (1) \\ log_{2}(x^2-2x+5)-mlog_{x^2-2x+5}2=5\qquad (2)\]  Giải: Điều kiện : \[x>1\] .\[(1)\Leftrightarrow log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>log_{\sqrt{3}}2\Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1}>2\Leftrightarrow 1<x<3\]  (Do \[x>1\]).Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow (2)\] có hai nghiệm phân biệt \[1<x<3\].Đặt \[t=log_{2}(x^2-2x+5)\Rightarrow 2<t<3\foral x\in (1;3)\] và (2) trở thành\[t+\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=-m\quad (3)\] Từ cách đặt \[t\] ta có: \[(x-1)^2=2^t-4\Rightarrow \] Với mỗi giá trị \[t\in (2;3)\] thì cho ta đúng một giá trị \[x\in (1;3)\]. Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt \[x\in (1;3)\Leftrightarrow (3)\] có 2 nghiệm phân biệt \[t\in (2;3)\].Xét hàm số \[f(t)=t^2-5t\] với \[t\in(2;3)\Rightarrow f'(t)=2t-5\Rightarrow =0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\] Suy ra \[(3)\] có 2 nghiệm phân biệt \[t\in (2;3)\Leftrightarrow -\frac{25}{4}<-m<-6\Leftrightarrow 6<m<\frac{25}{4}\]</blockquote>

Tên

Mã xác nhận