• HÃY CÙNG TẠO & THẢO LUẬN CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC [Vn Kiến Thức] - Định hướng VnKienthuc.com
    -
    Mọi kiến thức & Thông tin trên VnKienthuc chỉ mang tính chất tham khảo, Diễn đàn không chịu bất kỳ trách nhiệm liên quan
    - VnKienthuc tạm khóa đăng ký tài khoản tự động để hạn chế SEO bẩn, SPAM, quảng cáo. Chưa đăng ký, KHÁCH vẫn có thể đọc và bình luận.

Ứng dụng đạo hàm......

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ​

Khi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên D

Phương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow\] hai đồ thị của hai hàm số \[y=f(x)\] và \[y=g(x)\] cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:

1) Lập bảng biến thiên của hàm số \[y=f(x)\] .

2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng \[y=g(m)\] cắt đồ thị hàm số \[y=f(x)\].

Chú ý : Nếu hàm số \[y=f(x)\] liên tục trên \[D\] và \[m=min\limits_{x\in D}f(x)\], \[M=Max\limits_{x\in D}f(x)\] thì phương trình : \[f(x)=k\] có nghiệm \[\Leftrightarrow m\le k\le M\]

Ví dụ 1: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) \[\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}=m\]

2) \[\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}=m\]

Giải:

1)Xét hàm số \[f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\] có tập xác định là \[D=R\].

Ta có:

\[f^{'}(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}\]

\[\Rightarrow f^{'}(x)=0\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}\qquad (1)\]

\[\Rightarrow \left( x+\frac{1}{2}\right) ^2\left[ \left( x-\frac{1}{2}\right) ^2+\frac{3}{4}\right]=\left( x-\frac{1}{2}\right) ^2\left[ \left(x+\frac{1}{2}\right) ^2+\frac{3}{4}\right]\Leftrightarrow x=0\]

thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình \[f'(x)=0\] vô nghiệm \[\Rightarrow f^{'}(x)\] không đổi dấu trên \[R\], mà \[f^{'}(0)=1>0\Rightarrow f(x)>0\foral x\in R\Rightarrow f(x)\] đồng biến.

Mặt khác:

\[lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=1\] và \[\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-1\].

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi \[\Leftrightarrow -1<m<1\].

2) ĐK: \[x\ge 0\]

Xét hàm số \[f(x)=\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}\] với \[x\in D=[0;+\infty )\]

Ta có:

\[f^{'}(x)=\frac{x}{2\sqrt[4]{(x^2+1)^3}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\].

\[\Rightarrow f^{'}(x)=0\Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt[4]{(x^2+1)^3}\Leftrightarrow x^6=(x^2+1)^3\Leftrightarrow x^2=x^2+1\] vô nghiệm

\[\Rightarrow f^{'}(x)\] không đổi dấu trên \[D\],
mà \[f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt[4]{8}}-\frac{1}{2}<0\Rightarrow f'(x)<0\foral x\in D\]

Mặt khác:

\[\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{(x^2+1)^3}+\sqrt[4]{x^2(x^2+1)^2}+\sqrt[4]{x^4(x^2+1)}+\sqrt[4]{x^6}}=0\]

\[\Rightarrow 0<f(x)\le f(0)=1\foral x\in D\Rightarrow \] phương trình có nghiệm \[0<m\le 1\] .

Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.

Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

1) \[\sqrt[4]{x^4-13x+m}+x-1=0\]

2) \[x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})\].

Giải:

1) Phương trình

\[\Leftrightarrow \sqrt[4]{x^4-13x+m}=1-x\Leftrightarrow \left{ x\le 1 \\ x^4-13x+m=(1-x)^2\]

\[\Leftrightarrow \left{ x\le 1 \\ 4x^3-6x^2-9x=1-m\]

Xét hàm số \[f(x)=4x^3-6x^2-9x\] với \[x\le 1\]

Ta có:

\[f^{'}(x)=12x^2-12x-9\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ x=\frac{3}{2} \\ x=-\frac{1}{2}\].

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow 1-m\le \frac{5}{2}\Leftrightarrow m\ge -\frac{3}{2}\].

2) Điều kiện: \[0\le x\le 4\].

Khi đó phương trình \[\Leftrightarrow f(x)=(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x})=m\]
(Vì \[\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}\ne 0\])

Xét hàm số \[f(x)=(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x})\] với \[0\le x\le 4\].

Ta có:

\[f^{'}(x)=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x+12}}\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\right)\].
Do \[0<\sqrt{4-x}<\sqrt{5-x}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}>0\foral x\in [0;4)\] .

Vậy \[f(x)\] là hàm đồng biến trên \[[0;4]\]

\[\Rightarrow 2\sqrt{3}(\sqrt{5}-2)=f(0)\le f(x)\le f(4)=12\]

Suy ra phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow 2\sqrt{3}(\sqrt{5}-2)\le m\le 12\]

Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.

Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

\[\left{ 2^{x^2}\le \left(\frac{1}{2}\right) ^{4-5x}\qquad (1) \\ 3x^2-,x\sqrt{x}+16=0\qquad (2)\]

Giải:

Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình này

Ta có:

\[2^{x^2}\le 2^{5x-4}\Leftrightarrow x^2\le 5x-4\Leftrightarrow x^2-5x+4\le 0\Leftrightarrow 1\le x\le 4\].

Hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow (2)\] có nghiệm \[x\in [1;4]\].

\[(2)\Leftrightarrow \frac{3x^2+16}{x\sqrt{x}}=0\].

Xét \[f(x)=\frac{3x^2+16}{x\sqrt{x}}\] với \[x\in [1;4]\]
có \[f^{'}(x)=\frac{6x^2\sqrt{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}(3x^2+16)}{x^3}=\frac{3\sqrt{x}(x^2+16)}{2x^3}\le 0\foral x\in [1;4]\].

\[\Rightarrow 8=f(4)\le f(x)\le f(1)=19\foral x\in [1;4]\]

Vậy hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow 8\le m\le 19\].

Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

\[\left{ 7^{2x+\sqrt{x+1}}+2007x\leq 2007\qquad (1) \\ x^2-(m+2)x+2m+3=0\qquad (2)\]

Giải:

Ta có:

\[(1)\Leftrightarrow 7^{2+\sqrt{x+1}}\left( 7^{2(x+1)}-1\right)\le 2007(1-x)\qquad (3)\].

* Nếu \[x>1\Rightarrow VT(3)>0>VP(3)\Rightarrow (3)\] vô nghiệm.

* Nếu \[x\le 1\Rightarrow VT(3)\le 0\le VP(3)\Rightarrow (3)\] đúng \[\Rightarrow (3)\] có nghiệm \[x\le 1\]

Suy ra hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow (2)\] có nghiệm \[x\le 1\]

Ta có: \[(2)\Leftrightarrow m=\frac{x^2-2x+3}{x-2}=f(x)\]. Xét hàm số \[f(x)\] với \[x\le 1\],

có:

\[f'(x)=\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=2-\sqrt{3}\].
Dựa vào bảng biến thiên \[\Rightarrow \] hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow m\le 2-2\sqrt{3}\].

Ví dụ 5: Tìm \[m\] để hệ phương trình sau có nghiệm:

\[\left{ 2x-y+m=0\qquad (1) \\ y+\sqrt{xy}=2\qquad (2)\].

Giải:

Ta thấy \[(2)\] là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết \[(2)\] trước.

Ta có:

\[(2)\Leftrightarrow \sqrt{xy}=2-y\Leftrightarrow \left{ y\le 2 \\ x=\frac{y^2-4y+4}{y}\].

Thay vào \[(1)\] ta được:

\[\frac{y^2-4y+4}{y}-y+m=0\Leftrightarrow m=\frac{4y-4}{y}=f(y)\qquad (3)\].

Hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow (3)\] có nghiệm \[y\le 2\].

Xét hàm số \[f(y)\] với \[y\le 2\]

\[\Rightarrow f'(y)=\frac{4}{y^2}>0\Rightarrow f(y)\] đồng biến trên các khoảng \[(-\infty ;0)\] và \[(0;2]\]

\[\lim\limits_{y\rightarrow -\infty}f(y)=4;\quad \lim\limits_{y\rightarrow 0^+}f(y)=-\infty ;\quad \lim\limits_{y\rightarrow 0^-}f(y)=+\infty\]

Suy ra hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow m\in (-\infty ;2]\cup (4;+\infty ) \].

Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý
Số nghiệm của phương trình \[f(x)=g(m)\] chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số \[y=f(x)\] và \[y=g(x)\] . Do đó phương trình có \[k\] nghiệm \[\Leftrightarrow\] hai đồ thị trên cắt nhau tại \[k\] giao điểm.

Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:

\[\sqrt{x^4-4x63+16x+m}+\sqrt[4]{x^4-4x^3+16x+m}=6\]

Giải:

Đặt

\[t=\sqrt[4]{x^4-4x^3+16x+m},\quad t\ge 0\].

Ta có phương trình :

\[t^2+t-6=0\Leftrightarrow \sqrt[4]{x^4-4x^3+16x+m}=2\]

\[\Leftrightarrow -m=x^4-4x^3+16x=16\].

Xét hàm số \[f(x)=x^4-4x^3+16x-16\]

\[\Rightarrow f'(x)=4(x^3-3x^2+4)=4(x-2)^2(x+1)\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ x=-1 \\ x=2\].

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow -m>-27\Leftrightarrow m<27\]

Ví dụ 7: Tìm \[m\] để phương trình :

\[m\sqrt{x^2+2}=x+m\] có ba nghiệm phân biệt.

Giải:

Phương trình:

\[\Leftrightarrow m(\sqrt{x^2+2}-1)=x\Leftrightarrow m=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\] (do \[\sqrt{x^2+2}-1>0\foral x\])

Xét hàm số:

\[f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\Rightarrow f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+2}-1-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}}{(\sqrt{x^2+2}-1)^2}\]

\[f'(x)=\frac{2-\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}(\sqrt{x^2+2}-1)^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\].

Dựa vào bảng biến thiên \[\Rightarrow -\sqrt{2}<m<\sqrt{2}\].

(Còn nữa)
 

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
Tiếp...............

Ví dụ 8: Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để phương trình:

\[mx^2+1=cosx\] có đúng một nghiệm \[x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right)\].

Giải:

Ta thấy để pt có nghiệm thì \[m\le 0\]. Khi đó:

Phương trình đã cho

\[\Leftrightarrow \frac{cosx-1}{x^2}=m\Leftrightarrow \frac{sin^2\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right) ^2}=-2m\].

Xét hàm số :

\[f(t)=\frac{sint}{t}\] với \[t\in \left( 0;\frac{\pi}{4}\right)\]

Ta có:

\[f'(t)=\frac{t.cost-sint}{t^2}=\frac{cost(t-tant)}{t^2}<0\] với \[\foral t\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\Rightarrow f(t)\] nghịch biến.

Mà:

\[f\left(\frac{\pi}{4}\right) =\frac{2\sqrt{2}}{\pi}\]



\[\lim\limits_{t\rightarrow 0}f(t)=1\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}}{\pi}<f(t)<1\Rightarrow \frac{8}{\pi ^2}<\frac{sin^2\frac{x}{2}}{\left(\frac{x}{2}\right) ^2}<1\quad\foral x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right)\]

Vậy phương trình có đúng một nghiệm \[x\in\left( 0;\frac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow \frac{8}{\pi ^2}<-2m<1\]

\[\Leftrightarrow -\frac{1}{2}<m<-\frac{4}{\pi ^2}\].

Ví dụ 9: Tìm \[m\] để hệ phương trình :

\[\left{ 3(x+1)^2+y-m=0 \\ x+\sqrt{xy}=1\] có ba cặp nghiệm phân biệt .

Giải:

Ta có :

\[x+\sqrt{xy}=1\Leftrightarrow \sqrt{xy}=1-x\Leftrightarrow \left{ x\le 1 \\ y=\frac{x^2-2x+1}{x}\] (do \[x=0\] không là nghiệm phương trình ).

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

\[3x^2+6x+\frac{x^2-2x+1}{x}=m-3\quad (a)\].

Hệ có ba cặp nghiệm \[\Leftrightarrow (a)\] có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn \[x\le 1\] .

Xét hàm số:

\[f(x)=3x^2+6x+\frac{x^2-2x+1}{x}=3x^2+7x-2+\frac{1}{x}\] với \[x\le 1\].

\[\Rightarrow f'(x)=6x+7-\frac{1}{x^2}=\frac{6x^3+7x^2-1}{x^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=-1;\quad x=-\frac{1}{2};\quad x=\frac{1}{3}\].

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \[(a)\] có ba nghiệm phân biệt

\[\Leftrightarrow \left[ \frac{11}{3}\le m-3\le 9 \\ -7\le m-3\le -\frac{27}{4}\Leftrightarrow \left[ \frac{20}{3}\le m\le 12 \\ -4\le m\le -\frac{15}{3}\] .

Vậy \[\frac{20}{3}\le m\le 12; \quad -4\le m\le -\frac{15}{4}\] là những giá trị cần tìm.

Chú ý : Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định của ẩn phụ và giải quyết bài toán ẩn phụ trên miền xác định vừa tìm. Cụ thể:

* Khi đặt \[t=u(x),\quad x\in D\], ta tìm được \[t\in Y\] và phương trình \[f(x,m)=0\] (1) trở thành \[g(t,m)=0\] (2). Khi đó (1) có nghiệm \[x\in D\Leftrightarrow \] (2) có nghiệm \[t\in Y\].

* Để tìm miền xác định của t ta có thể sử dụng các phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định của t chính là miền giá trị của hàm \[u(x)\] ).

* Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t, tức là mỗi giá trị \[t\in Y\] thì phương trình \[u(x)=t\] có bao nhiêu nghiệm \[x\in D\]?.

Ví dụ 10: Tìm \[m\] để các phương trình sau có nghiệm.

1) \[\sqrt{x}+\sqrt{9-x}=\sqrt{-x^2+9x+m}\].

2) \[\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}-\sqrt{(3+x)(6-x)}=m\] .

3) \[m(\sqrt{x-2}+2\sqrt[4]{x^2-4})-\sqrt{x+2}=2\sqrt[4]{x^2-4}\].

Giải:

1) Điều kiện: \[0\le x\le 9\].

Phương trình

\[\Leftrightarrow 9+2\sqrt{x(9-x)}=-x^2+9x+m\Leftrightarrow 2-m=x(9-x)-2\sqrt{x(9-x)}\]

Đặt

\[t=\sqrt{x(9-x)}\Rightarrow 0\le t\le \frac{x+9-x}{2}=\frac{9}{2}\]

Ta có phương trình :
\[2-m=t^2-2t=f(t)\qquad (1)\].

Phương trình đã cho có nghiệm \[\Leftrightarrow (1)\] có nghiệm \[t\in\left[ 0;\frac{9}{2}\right]\]

Xét hàm số:

\[f(t)\] với \[t\in\left[ 0;\frac{9}{2}\right]\],

có \[f'(t)=2t-2>0\Rightarrow f'(t)=0\Leftrightarrow t=1\] .

Vậy phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow -1\le 2-m\le \frac{45}{4}\Leftrightarrow -\frac{37}{4}\le m\le 3\].

2) Điều kiện: \[-3\le x\le 6\]

Đặt

\[t=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}\Rightarrow t^2=9+2\sqrt{(3+x)(6-x)}\Rightarrow \sqrt{(3+x)(6-x)}=\frac{t^2-1}{2}\]

Phương trình đã cho trở thành:

\[t-\frac{t^2-9}{2}=m\Leftrightarrow t^2-2t=9-2m\qquad (2)\].

Xét hàm số

\[t(x)=\sqrt{3+x}+\sqrt{6-x}\Rightarrow t'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}-\frac{1}{2\sqrt{6-x}}\]

\[\Rightarrow t'(x)=0\Leftrightarrow \sqrt{6-x}=\sqrt{x+3}\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\].

Dựa vào bảng biến thiên của \[t(x)\Rightarrow t\in [3;3\sqrt{2}]\]

Suy ra \[(1)\] có nghiệm \[\Leftrightarrow (2)\] có nghiệm \[t\in [3;3\sqrt{2}]\].

Xét hàm số \[f(t)=t^2-2t\] với \[3\le t\le 3\sqrt{2}\], có \[f'(t)=2t-2>0\foral t\in [3;3\sqrt{2}]\]

Suy ra \[f(t)\] là hàm đồng biến trên \[[3;3\sqrt{2}]\]
\[\Rightarrow 3=f(3)\le f(t)\le f(3\sqrt{2})=18-6\sqrt{2}\foral t\in [3;3\sqrt{2}]\]

Vậy phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow 3\le 9-2m\le 18-6\sqrt{2}\Leftrightarrow \frac{6\sqrt{2}-9}{2}\le m\le 3\].

3) Điều kiện : \[x\ge 2\].

Ta thấy \[x=2\] không là nghiệm của phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho \[\sqrt[4]{x^2-4}\], ta được:

\[m\left( \sqrt[4]{\frac{x-2}{x+2}}+2\right)-\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}=2\qquad (*)\].

Đặt

\[t=\sqrt[4]{\frac{x+2}{x-2}}>0\Rightarrow t^4(x-2)=x+2\Rightarrow x=\frac{(t^4+1)}{t^4-1}>2\]

\[\Leftrightarrow \frac{4}{t^4-1}>0\Leftrightarrow t>1\]

Khi đó ( * ) trở thành:

\[m\left( \frac{1}{t}+2\right)-t=2\Leftrightarrow m=\frac{t^2+2t}{2t=1}=f(t)\qquad (3)\].

Phương trình đã cho có nghiệm \[\Leftrightarrow (3)\] có nghiệm \[t>1\].

Xét hàm số

f(t) với \[t>1\], có:

\[f'(t)=\frac{2t^2+2t+2}{(2t+1)^2}>0\foral t>1\].

\[\Rightarrow f(t)>f(1)=1\foral t>1\].

Vậy phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow m>1\].

Chú ý : Trong các bài toán trên sau khi đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn khi xác định miền xác định của \[t\] .Ở trên chúng ta đã làm quen với ba cách tìm miền xác định của \[t\]. Tuy nhiên ngoài những cách trên ta còn có những cách khác để tìm miền xác định của t. Chẳng hạn:

Ở câu 2) ta có thể áp dụng BĐT Côsi để tìm xác định của t :

\[2\sqrt{(3+x)(6-x)}\le 9\Rightarrow 9\le t^2\le 18\Rightarrow 3\le t\le 3\sqrt{2}\].

Ở câu 3) để tìm miền xác định ta có thể làm như sau:

\[t=\sqrt[4]{1+\frac{1}{x-2}}\] vì \[\frac{1}{x-2}>0\foral x>2\Rightarrow t>1\].

Ví dụ 11: Tìm \[m\] để các phương trình

1) \[tan^2x+cot^2x+m(tanx+cotx)+3=0\] có nghiệm .

2) \[log_{3}^{2}x+\sqrt{log_{3}^{2}x+1}-2m-1=0\] có nghiệm trên \[[1;3^{\sqrt{3}}]\].

Giải:

1) Đặt

\[t=tanx+cotx\Rightarrow tan^2x+cot^2x=t^2-2\] và \[|t|\ge 2\] .

Phương trình đã cho trở thành:

\[t^2+mt+1=0\Leftrightarrow \frac{t^2+1}{t}=-m\quad (3)\] ( vì \[t\ne 0\]).

Phương trình đã cho có nghiệm \[\Leftrightarrow (3)\] có nghiệm t thỏa mãn \[|t|\ge 2\].

Xét hàm số

\[f(t)=\frac{t^2+1}{t}\] với \[|t|\ge 2\],

ta có:

\[f'(t)=\frac{t^2-1}{t^2}>0\foral t:\quad |t|\ge 2\]

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm

\[\Leftrightarrow |m|\ge \frac{5}{2}\].

2) Đặt

\[t=\sqrt{log_{3}^{2}x+1}\Rightarrow log_{3}^{2}x=t^2-1\].

Với \[1\le x\le 3^{\sqrt{3}}\Rightarrow 1\le t\le 2\].

Phương trình đã cho trở thành:

\[t^2+t=2m+2\quad (2)\]

Phương trình đã cho có nghiệm trên \[[1;3^{\sqrt{3}}]\Leftrightarrow (2)\] có nghiệm \[1\le t\le 2\]

Xét hàm số

\[f(t)=t^2+t\] với \[1\le t\le 2\], ta thấy \[f(t)\] là hàm đồng biến trên \[[1;2]\]

Suy ra \[2=f(1)\le f(t)\lef(2)=5\foral t\in [1;2]\].

Vậy phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow 2\le 2m+2\le 5\Leftrightarrow 0\le m\le \frac{3}{2}\]

Ví dụ 12: Xác định mọi giá trị của tham số m để hệ sau có 2 nghiệm phân biệt

\[\left{ log_{\sqrt{3}}(x+1)-log_{\sqrt{3}(x-1)>log_{3}4\qquad (1) \\ log_{2}(x^2-2x+5)-mlog_{x^2-2x+5}2=5\qquad (2)\]

Giải:

Điều kiện : \[x>1\] .

\[(1)\Leftrightarrow log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>log_{\sqrt{3}}2\Leftrightarrow \frac{x+1}{x-1}>2\Leftrightarrow 1<x<3\] (Do \[x>1\]).

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow (2)\] có hai nghiệm phân biệt \[1<x<3\].

Đặt

\[t=log_{2}(x^2-2x+5)\Rightarrow 2<t<3\foral x\in (1;3)\]

và (2) trở thành

\[t+\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=-m\quad (3)\]

Từ cách đặt \[t\] ta có:

\[(x-1)^2=2^t-4\Rightarrow \] Với mỗi giá trị \[t\in (2;3)\] thì cho ta đúng một giá trị \[x\in (1;3)\]. Suy ra (2) có 2 nghiệm phân biệt \[x\in (1;3)\Leftrightarrow (3)\] có 2 nghiệm phân biệt \[t\in (2;3)\].

Xét hàm số

\[f(t)=t^2-5t\] với \[t\in(2;3)\Rightarrow f'(t)=2t-5\Rightarrow =0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\]

Suy ra \[(3)\] có 2 nghiệm phân biệt \[t\in (2;3)\Leftrightarrow -\frac{25}{4}<-m<-6\Leftrightarrow 6<m<\frac{25}{4}\]
 

lazy

New member
Xu
0
bạn chỉ cần bôi đen tất cả rui copy vào word hoặc bạn click chuột phải và chọn lưu trang dưới dạng...ok
:go::go::go:
 

h2y3

New member
Xu
0
ứng dụng của đạo hàm còn có thể tìm giới hạn mà, sao cái cần tìm không thấy đâu hết trơn :((
 
CHAT
  1. No shouts have been posted yet.

Chủ đề mới

VnKienthuc lúc này

Không có thành viên trực tuyến.

Định hướng

Diễn đàn VnKienthuc.com là nơi thảo luận và chia sẻ về mọi kiến thức hữu ích trong học tập và cuộc sống, khởi nghiệp, kinh doanh,...
Top