Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com - Định hướng Forum Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN
Kết nối: VNK X - VNK groups | Nhà Tài Trợ: BhnongFood X - Bhnong groups - Đặt mua Bánh Bhnong

Trả lời chủ đề

Nội dung: <blockquote data-quote="NguoiDien" data-source="post: 10503" data-attributes="member: 75">ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM VÀO CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐKhi giải các bài toán về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta thường hay gặp các bài toán liên quan đến tham số. Có lẽ đây là dạng toán mà nhiều học sinh lúng túng nhất. Trong chương này chúng ta sẽ đi nghiên cứu một số dạng toán mà chúng ta thương hay gặp (như xác định tham số để phương trình có nghiệm, có k nghiệm, nghiệm đúng với mọi x thuộc tập D nào đó… ) và phương pháp giải các dạng toán đó.Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để phương trình f(x)=g(m) có nghiệm trên DPhương pháp: Dựa vào tính chất phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow\] hai đồ thị của hai hàm số \[y=f(x)\] và \[y=g(x)\] cắt nhau. Do đó để giải bài toán này ta tiến hành theo các bước sau:1) Lập bảng biến thiên của hàm số \[y=f(x)\] .2) Dựa vào bảng biến thiên ta xác định m để đường thẳng \[y=g(m)\]  cắt đồ thị hàm số \[y=f(x)\].Chú ý : Nếu hàm số \[y=f(x)\] liên tục trên \[D\] và \[m=min\limits_{x\in D}f(x)\], \[M=Max\limits_{x\in D}f(x)\] thì phương trình : \[f(x)=k\] có nghiệm \[\Leftrightarrow m\le k\le M\] Ví dụ 1:  Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:1) \[\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}=m\] 2) \[\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}=m\] Giải:1)Xét hàm số \[f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\] có tập xác định là \[D=R\].Ta có: \[f^{'}(x)=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}\] \[\Rightarrow f^{'}(x)=0\Leftrightarrow (2x+1)\sqrt{x^2-x+1}=(2x-1)\sqrt{x^2+x+1}\qquad (1)\] \[\Rightarrow \left( x+\frac{1}{2}\right) ^2\left[ \left( x-\frac{1}{2}\right) ^2+\frac{3}{4}\right]=\left( x-\frac{1}{2}\right) ^2\left[ \left(x+\frac{1}{2}\right) ^2+\frac{3}{4}\right]\Leftrightarrow x=0\] thay vào (1) ta thấy không thỏa mãn. Vậy phương trình \[f'(x)=0\] vô nghiệm \[\Rightarrow f^{'}(x)\] không đổi dấu trên \[R\], mà \[f^{'}(0)=1>0\Rightarrow f(x)>0\foral x\in R\Rightarrow f(x)\] đồng biến.Mặt khác: \[lim\limits_{x\rightarrow +\infty }f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=1\] và \[\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-1\].Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình đã cho có nghiệm khi \[\Leftrightarrow -1<m<1\]. 2) ĐK: \[x\ge 0\] Xét hàm số \[f(x)=\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}\] với \[x\in D=[0;+\infty )\] Ta có: \[f^{'}(x)=\frac{x}{2\sqrt[4]{(x^2+1)^3}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\].\[\Rightarrow f^{'}(x)=0\Leftrightarrow x\sqrt{x}=\sqrt[4]{(x^2+1)^3}\Leftrightarrow x^6=(x^2+1)^3\Leftrightarrow x^2=x^2+1\] vô nghiệm\[\Rightarrow f^{'}(x)\] không đổi dấu trên \[D\], mà \[f^{'}(x)=\frac{1}{2\sqrt[4]{8}}-\frac{1}{2}<0\Rightarrow f'(x)<0\foral x\in D\] Mặt khác: \[\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{(x^2+1)^3}+\sqrt[4]{x^2(x^2+1)^2}+\sqrt[4]{x^4(x^2+1)}+\sqrt[4]{x^6}}=0\] \[\Rightarrow 0<f(x)\le f(0)=1\foral x\in D\Rightarrow \] phương trình có nghiệm \[0<m\le 1\] . Chú ý : Nếu phương trình chưa có dạng trên thì ta tìm cách cô lập m đưa về dạng trên.Ví dụ 2: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:1) \[\sqrt[4]{x^4-13x+m}+x-1=0\] 2) \[x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})\].Giải:1) Phương trình \[\Leftrightarrow \sqrt[4]{x^4-13x+m}=1-x\Leftrightarrow \left{ x\le 1 \\ x^4-13x+m=(1-x)^2\] \[\Leftrightarrow \left{ x\le 1 \\ 4x^3-6x^2-9x=1-m\]  Xét hàm số \[f(x)=4x^3-6x^2-9x\] với \[x\le 1\] Ta có: \[f^{'}(x)=12x^2-12x-9\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ x=\frac{3}{2} \\ x=-\frac{1}{2}\].Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow 1-m\le \frac{5}{2}\Leftrightarrow m\ge -\frac{3}{2}\]. 2) Điều kiện: \[0\le x\le 4\]. Khi đó phương trình \[\Leftrightarrow f(x)=(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x})=m\] (Vì \[\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x}\ne 0\])Xét hàm số \[f(x)=(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\sqrt{5-x}-\sqrt{4-x})\] với \[0\le x\le 4\].Ta có: \[f^{'}(x)=\left(\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x+12}}\right)\left(\frac{1}{2\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}\right)\].Do \[0<\sqrt{4-x}<\sqrt{5-x}\Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{4-x}}-\frac{1}{2\sqrt{5-x}}>0\foral x\in [0;4)\] .Vậy \[f(x)\] là hàm đồng biến trên \[[0;4]\]  \[\Rightarrow 2\sqrt{3}(\sqrt{5}-2)=f(0)\le f(x)\le f(4)=12\] Suy ra phương trình có nghiệm \[\Leftrightarrow 2\sqrt{3}(\sqrt{5}-2)\le m\le 12\]  Chú ý : Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước. Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm  (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia. Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên.Ví dụ 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm: \[\left{ 2^{x^2}\le \left(\frac{1}{2}\right) ^{4-5x}\qquad (1) \\ 3x^2-,x\sqrt{x}+16=0\qquad (2)\]    Giải:Ta thấy (1) là bất phương trình một ẩn nên ta sẽ đi giải bất phương trình nàyTa có: \[2^{x^2}\le 2^{5x-4}\Leftrightarrow x^2\le 5x-4\Leftrightarrow x^2-5x+4\le 0\Leftrightarrow 1\le x\le 4\].Hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow (2)\] có nghiệm \[x\in [1;4]\].\[(2)\Leftrightarrow \frac{3x^2+16}{x\sqrt{x}}=0\]. Xét \[f(x)=\frac{3x^2+16}{x\sqrt{x}}\] với \[x\in [1;4]\] có \[f^{'}(x)=\frac{6x^2\sqrt{x}-\frac{3}{2}\sqrt{x}(3x^2+16)}{x^3}=\frac{3\sqrt{x}(x^2+16)}{2x^3}\le 0\foral x\in [1;4]\].\[\Rightarrow 8=f(4)\le f(x)\le f(1)=19\foral x\in [1;4]\] Vậy hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow 8\le m\le 19\].Ví dụ 4: Tìm m để hệ sau có nghiệm: \[\left{ 7^{2x+\sqrt{x+1}}+2007x\leq 2007\qquad (1) \\ x^2-(m+2)x+2m+3=0\qquad (2)\] Giải:Ta có: \[(1)\Leftrightarrow 7^{2+\sqrt{x+1}}\left( 7^{2(x+1)}-1\right)\le 2007(1-x)\qquad (3)\].* Nếu \[x>1\Rightarrow VT(3)>0>VP(3)\Rightarrow (3)\] vô nghiệm.* Nếu \[x\le 1\Rightarrow VT(3)\le 0\le VP(3)\Rightarrow (3)\] đúng \[\Rightarrow (3)\] có nghiệm \[x\le 1\]  Suy ra hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow (2)\] có nghiệm \[x\le 1\]  Ta có: \[(2)\Leftrightarrow m=\frac{x^2-2x+3}{x-2}=f(x)\]. Xét hàm số \[f(x)\] với \[x\le 1\], có:\[f'(x)=\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=2-\sqrt{3}\].Dựa vào bảng biến thiên \[\Rightarrow \] hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow m\le 2-2\sqrt{3}\].Ví dụ 5: Tìm \[m\] để hệ phương trình sau có nghiệm:\[\left{ 2x-y+m=0\qquad (1) \\ y+\sqrt{xy}=2\qquad (2)\].Giải:Ta thấy \[(2)\] là phương trình không chứa tham số nên ta sẽ giải quyết \[(2)\] trước.Ta có: \[(2)\Leftrightarrow \sqrt{xy}=2-y\Leftrightarrow \left{ y\le 2 \\ x=\frac{y^2-4y+4}{y}\]. Thay vào \[(1)\] ta được:\[\frac{y^2-4y+4}{y}-y+m=0\Leftrightarrow m=\frac{4y-4}{y}=f<img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@14.0.2/assets/72x72/1f44d.png" class="smilie smilie--emoji" loading="lazy" width="72" height="72" alt="(y)" title="Thumbs up    (y)"  data-smilie="22"data-shortname="(y)" />\qquad (3)\].Hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow (3)\] có nghiệm \[y\le 2\]. Xét hàm số \[f<img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@14.0.2/assets/72x72/1f44d.png" class="smilie smilie--emoji" loading="lazy" width="72" height="72" alt="(y)" title="Thumbs up    (y)"  data-smilie="22"data-shortname="(y)" />\] với \[y\le 2\] \[\Rightarrow f'<img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@14.0.2/assets/72x72/1f44d.png" class="smilie smilie--emoji" loading="lazy" width="72" height="72" alt="(y)" title="Thumbs up    (y)"  data-smilie="22"data-shortname="(y)" />=\frac{4}{y^2}>0\Rightarrow f<img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@14.0.2/assets/72x72/1f44d.png" class="smilie smilie--emoji" loading="lazy" width="72" height="72" alt="(y)" title="Thumbs up    (y)"  data-smilie="22"data-shortname="(y)" />\] đồng biến trên các khoảng \[(-\infty ;0)\] và \[(0;2]\] \[\lim\limits_{y\rightarrow -\infty}f<img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@14.0.2/assets/72x72/1f44d.png" class="smilie smilie--emoji" loading="lazy" width="72" height="72" alt="(y)" title="Thumbs up    (y)"  data-smilie="22"data-shortname="(y)" />=4;\quad \lim\limits_{y\rightarrow 0^+}f<img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@14.0.2/assets/72x72/1f44d.png" class="smilie smilie--emoji" loading="lazy" width="72" height="72" alt="(y)" title="Thumbs up    (y)"  data-smilie="22"data-shortname="(y)" />=-\infty ;\quad \lim\limits_{y\rightarrow 0^-}f<img src="https://cdn.jsdelivr.net/gh/twitter/twemoji@14.0.2/assets/72x72/1f44d.png" class="smilie smilie--emoji" loading="lazy" width="72" height="72" alt="(y)" title="Thumbs up    (y)"  data-smilie="22"data-shortname="(y)" />=+\infty\] Suy ra hệ có nghiệm \[\Leftrightarrow m\in (-\infty ;2]\cup (4;+\infty ) \].Chú ý : Khi bài toán yêu cầu xác định số nghiệm của phương trình thì ta phải lưu ý  Số nghiệm của phương trình \[f(x)=g(m)\] chính là số giao điểm của đồ thị hai hàm số \[y=f(x)\]  và \[y=g(x)\] . Do đó phương trình có \[k\] nghiệm \[\Leftrightarrow\] hai đồ thị trên cắt nhau tại \[k\] giao điểm.Ví dụ 6: Tìm tất cả các giá trị của \[m\] để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt:   \[\sqrt{x^4-4x63+16x+m}+\sqrt[4]{x^4-4x^3+16x+m}=6\] Giải:Đặt \[t=\sqrt[4]{x^4-4x^3+16x+m},\quad t\ge 0\]. Ta có phương trình :\[t^2+t-6=0\Leftrightarrow \sqrt[4]{x^4-4x^3+16x+m}=2\]\[\Leftrightarrow -m=x^4-4x^3+16x=16\]. Xét hàm số \[f(x)=x^4-4x^3+16x-16\] \[\Rightarrow f'(x)=4(x^3-3x^2+4)=4(x-2)^2(x+1)\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow \left[ x=-1 \\ x=2\].Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow -m>-27\Leftrightarrow m<27\] Ví dụ 7: Tìm \[m\] để phương trình : \[m\sqrt{x^2+2}=x+m\] có ba nghiệm phân biệt.Giải:Phương trình: \[\Leftrightarrow m(\sqrt{x^2+2}-1)=x\Leftrightarrow m=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\] (do \[\sqrt{x^2+2}-1>0\foral x\])Xét hàm số: \[f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+2}-1}\Rightarrow f'(x)=\frac{\sqrt{x^2+2}-1-\frac{x^2}{\sqrt{x^2+2}}}{(\sqrt{x^2+2}-1)^2}\] \[f'(x)=\frac{2-\sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}(\sqrt{x^2+2}-1)^2}\Rightarrow f'(x)=0\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\].Dựa vào bảng biến thiên \[\Rightarrow -\sqrt{2}<m<\sqrt{2}\].(Còn nữa)</blockquote>

Tên

Mã xác nhận