Tìm min max của hàm số mà không sử dụng đạo hàm?

[Spider_man]

Tìm min max của hàm số mà không sử dụng đạo hàm?

Không phải lúc nào dùng đạo hàm ta cũng tìm được min max của hàm số, có thể xét 2 ví dụ sau:

1) Tìm min max của hàm số

\[y = \frac{{\cos x + 2sinx + 3}}{{2cosx - sinx + 4}}\\]
​

trong khoảng \[( - \pi ;\pi )\\]

2) Tìm max

\[y = si{n^{18}}x + co{s^{18}}x\\]

Mời các bạn cùng suy nghĩ!
​

 

[son93]

Bài toán 1 này có thể trình bày cho bài toán tổng quát
\[\frac{asinx +bcosx+c}{a'sinx +b'cosx+c'}\]
mình chỉ trình bày bài toán cụ thể mà bạn đưa ra nhé
đặt về trái là y biến đổi tương đương
(y+2)sinx -(2y-1)cosx=4y-3
phương trình nghiệm thì y phải thỏa mãn đk
\[-1\leq \frac{4y-3}{\sqrt{(y+2)^2+(2y-1)^2}}\leq 1\]
giải đk này ta sẽ tìm được min max
Con 2
vì cosx, sinx <1
nên \[sin^{18}x \leq sin^{2}x\]
\[cos^{18}x \leq cos^{2}x\]
vì vậy \[y \leq sin^{2}x+cos^{2}x = 1\]
dấu bằng bạn tự xét (môt trong 2 cái là 0)

 

[Spider_man]

"Khuyến mãi" cho các bạn câu này, dễ lắm:

Tìm min max: \[y = \sqrt {\cos x} + \sqrt {\sin x} \\]

 

[NguoiDien]

"Khuyến mãi" cho các bạn câu này, dễ lắm:

Tìm min max: \[y = \sqrt {\cos x} + \sqrt {\sin x} \\]

Cô Si thử xem các bạn!

 

[son93]

cảm ơn beedrill nhé, làm bài hàm số của mình đi
mình làm bài này
\[\sqrt{sinx}\geq sin^2x.....\sqrt{cosx}\geq cos^2x\]
min là 1
max dùng cosi nhé
\[\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}}}\sqrt{sinx}\leq \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+sinx}{2}\]
\[\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}}}\sqrt{cosx}\leq \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}+cosx}{2}\]
\[sinx+cosx\leq \sqrt{2}\] (dễ chứng minh, có khá nhiều cách)
áp dụng những cái trên vào thì được max rồi! có dấu bằng nhé!

 

[Spider_man]

Dừng lại là không nên chi bằng ta đi tiếp nhé:

Cho \[3 \le n \in N\\] và \[x \in (0;\frac{\pi }{2});y = {\sin ^n}x + {\cos ^n}x\\]. Tìm Min y?