Tìm Max biểu thức A nhờ công cụ hàm số!

[QuangiahoPan]

Nghe bạn bè nói bảo bài này dùng công cụ hàm số. Ai làm dùm em với. :big_smile:

 

[NguoiDien]

Nghe bạn bè nói bảo bài này dùng công cụ hàm số. Ai làm dùm em với. :big_smile:

Để dễ viết ta đặt \[\frac{a}{b}=m, \frac{b}{a}=n\] thì chú ý rằng \[m.n=1\]

Ta có:

\[(m+n)^4=m^4+4m^3.n+6m^2.n^2+4m.n^3+n^4\]

\[=(m^4+n^4)+4m.n(m^2+n^2)+6.(m.n)^2\]

\[=(m^4+n^4)+4(m^2+n^2+2mn-2mn)+6\]

\[=(m^4+n^4)+4[(m+n)^2-2]+6\]

\[=(m^4+n^4)+4(m+n)^2-8+6=(m^4+n^4)+4(m+n)^2-2\]

Suy ra:

\[-(m^4+n^4)=-(m+n)^4+4(m+n)^2-2\qquad (1)\]

Và:

\[(m+n)^3=m^3+3m^2.n+3m.n^2+n^3\]

\[=(m^3+n^3)+3m.n(m+n)\]

\[=(m^3+n^3)+3(m+n)\]

Suy ra:

\[(m^3+n^3)=(m+n)^3-3(m+n)\] hay \[4(m^3+n^3)=4(m+n)^3-12(m+n) \qquad (2)\]

Và:

\[m^2+n^2=(m+n)^2-2m.n=(m+n)^2-2\]

Suy ra:

\[-2(m^2+n^2)=-2(m+n)^2+4\qquad (3)\]

Từ \[(1), (2)\], và \[(3)\] ta có:

\[A=-(m+n)^4+4(m+n)^3+2(m+n)^2-12(m+n)+2\]

Xét hàm số:

\[f(x)=-x^4+4x^3+2x^2-12x+2\]

Ta có:

\[f'(x)=-4x^3+12x^2+4x-12=4(x^2-1)(3-x)\]

Ta có bảng biến thiên của hàm số \[f(x)\] như sau:

\[Maxf(x)=f(-1)=f(3)=11\]

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \[A\] là \[MaxA=11\] khi \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=-1\] hoặc \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3\].