Bài toán tìm m để khảo sát hàm số là một dạng bài toán quan trọng xuất hiện nhiều trong các kì thi. Với dạng toán này, sẽ giúp chúng ta có thêm những kĩ năng về khảo sát hàm số, sự biến thiên của hàm. Và hàm số thì thường có những ứng dụng quan trọng liên quan đến 1 số chương khác trong chương trình toán 12. Bài toán tìm m không phải là bài toán khó nếu chúng ta nắm chắc các dạng bài và luyện nhiều bài tập.
Sau đây, mình gửi đến bạn đọc về chuyên đề "Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng".
I. PHƯƠNG PHÁP TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG
Bài toán: Cho hàm số f(x,m) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a;b). Tìm giá trị của m để hàm số f(x,m) đơn điệu trên khoảng (a;b).
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG
Trước hết ta đã có định lý sau: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x)≥0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu = chỉ được xảy ra tại hữu hạn điểm.
Tương tự, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x)≤0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu = chỉ được xảy ra tại hữu hạn điểm.
Như vậy muốn hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì f(x) cần phải xác định và liên tục trên khoảng (a;b).
Do đó để giải quyết bài toán tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước hay tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng cho trước thì ta nên thực hiện theo thứ tự như sau:
Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).
Tính đạo hàm và tìm điều kiện của tham số để đạo hàm không âm (âm) hoặc không dương (dương) trên khoảng (a;b): Theo định lý trên chúng ta cần xét dấu của đạo hàm trên khoảng (a;b). Do đó đương nhiên chúng ta phải tính đạo hàm.
2. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐẠO HÀM KHI CÓ THAM SỐ
Đến bước này các bạn cần đưa ra sự lựa chọn phương pháp đánh giá đạo hàm. Theo thứ tự các bạn nên ưu tiên như sau:
Nhẩm nghiệm của đạo hàm: Hiển nhiên, nếu đạo hàm có nghiệm đặc biệt hoặc biết được hết các nghiệm thì ta dễ dàng xét được dấu của nó rồi. Nên ta phải ưu tiên cách này trước.
Cô lập tham số m: Cô lập được tham số m từ bất phương trình f'(x,m)≥0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) chẳng hạn. Ta sẽ thu được bất phương trình dạng m≥g(x) với mọi x thuộc khoảng (a;b). Hoặc m≤g(x) với mọi x thuộc khoảng (a;b). Khi đó, hãy chú ý rằng nếu g(x) có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất thì:
Còn trong trường hợp không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất thì ta có thể xét đến cận trên đúng hoặc cận dưới đúng của g(x). Và lúc này dấu = cần xem xét cẩn thận.
Dùng kiến thức về nghiệm và dấu của tam thức bậc 2: Hai cách trên không sử dụng được nữa thì ta phải áp dụng các kiến thức về nghiệm và dấu của tam thức bậc 2 vào giải quyết.
II. VÍ DỤ TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN TRÊN KHOẢNG NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG
1. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN TRÊN R NGHỊCH BIẾN TRÊN R
Trong chương trình, đây là dạng toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nếu là hàm đa thức bậc 3 thì chúng ta có thể áp dụng kiến thức sau:
Ví dụ:
Giải:
2. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN TRÊN TỪNG KHOẢNG XÁC ĐỊNH
Trong chương trình phổ thông ta thường gặp dạng toán này ở hàm phân tuyến tính (hay hàm số phân thức bậc 1 trên bậc 1). Đối với hàm số này ta có thể áp dụng kiến thức sau:
Ví dụ:
Giải:
3. VÍ DỤ VỀ NHẨM ĐƯỢC NGHIỆM CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ:
Cho hàm số y=x³-(m+1)x²-(m²-2m)x+2020. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).
Lời giải:
4. VÍ DỤ VỀ CÔ LẬP THAM SỐ M
Ví dụ:
Cho hàm số y=x³+mx²+2mx+3. Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).
Lời giải:
5. VÍ DỤ VỀ HÀM PHÂN TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CHO TRƯỚC
Với hàm số phân tuyến tính có tham số, các bạn cần chú ý đến các trường hợp hàm số suy biến. Cụ thể ta cần xét trường hợp hàm số suy biến thành hàm bậc nhất (nếu có). Còn trường hợp hàm suy biến thành hằng thì không cần xét vì trong trường hợp này hàm số cũng không phải hàm đơn điệu. Sau khi xét xong trường hợp suy biến (nếu có) thì các bạn có thể sử dụng kiến thức sau để giải toán.
Với bài trên đây, hi vọng rằng bạn sẽ có thêm nhiều kiến thức về hàm số và dạng toán tìm m. Mỗi dạng toán sẽ giúp bạn có thêm những kĩ năng riêng. Chúc bạn thành công trong kì thi sắp tới của mình !
Sau đây, mình gửi đến bạn đọc về chuyên đề "Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng".
I. PHƯƠNG PHÁP TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG
Bài toán: Cho hàm số f(x,m) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a;b). Tìm giá trị của m để hàm số f(x,m) đơn điệu trên khoảng (a;b).
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG
Trước hết ta đã có định lý sau: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x)≥0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu = chỉ được xảy ra tại hữu hạn điểm.
Tương tự, hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) khi và chỉ khi f'(x)≤0 với mọi giá trị x thuộc khoảng (a;b). Dấu = chỉ được xảy ra tại hữu hạn điểm.
Như vậy muốn hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) thì f(x) cần phải xác định và liên tục trên khoảng (a;b).
Do đó để giải quyết bài toán tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng cho trước hay tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng cho trước thì ta nên thực hiện theo thứ tự như sau:
Kiểm tra tập xác định: Vì bài toán có tham số nên ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số xác định trên khoảng (a;b).
Tính đạo hàm và tìm điều kiện của tham số để đạo hàm không âm (âm) hoặc không dương (dương) trên khoảng (a;b): Theo định lý trên chúng ta cần xét dấu của đạo hàm trên khoảng (a;b). Do đó đương nhiên chúng ta phải tính đạo hàm.
2. PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐẠO HÀM KHI CÓ THAM SỐ
Đến bước này các bạn cần đưa ra sự lựa chọn phương pháp đánh giá đạo hàm. Theo thứ tự các bạn nên ưu tiên như sau:
Nhẩm nghiệm của đạo hàm: Hiển nhiên, nếu đạo hàm có nghiệm đặc biệt hoặc biết được hết các nghiệm thì ta dễ dàng xét được dấu của nó rồi. Nên ta phải ưu tiên cách này trước.
Cô lập tham số m: Cô lập được tham số m từ bất phương trình f'(x,m)≥0 với mọi x thuộc khoảng (a;b) chẳng hạn. Ta sẽ thu được bất phương trình dạng m≥g(x) với mọi x thuộc khoảng (a;b). Hoặc m≤g(x) với mọi x thuộc khoảng (a;b). Khi đó, hãy chú ý rằng nếu g(x) có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất thì:
Dùng kiến thức về nghiệm và dấu của tam thức bậc 2: Hai cách trên không sử dụng được nữa thì ta phải áp dụng các kiến thức về nghiệm và dấu của tam thức bậc 2 vào giải quyết.
II. VÍ DỤ TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN TRÊN KHOẢNG NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG
1. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN TRÊN R NGHỊCH BIẾN TRÊN R
Trong chương trình, đây là dạng toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nếu là hàm đa thức bậc 3 thì chúng ta có thể áp dụng kiến thức sau:
Ví dụ:
Giải:
2. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN TRÊN TỪNG KHOẢNG XÁC ĐỊNH
Trong chương trình phổ thông ta thường gặp dạng toán này ở hàm phân tuyến tính (hay hàm số phân thức bậc 1 trên bậc 1). Đối với hàm số này ta có thể áp dụng kiến thức sau:
Ví dụ:
Giải:
3. VÍ DỤ VỀ NHẨM ĐƯỢC NGHIỆM CỦA ĐẠO HÀM
Ví dụ:
Cho hàm số y=x³-(m+1)x²-(m²-2m)x+2020. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1).
Lời giải:
4. VÍ DỤ VỀ CÔ LẬP THAM SỐ M
Ví dụ:
Cho hàm số y=x³+mx²+2mx+3. Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).
Lời giải:
5. VÍ DỤ VỀ HÀM PHÂN TUYẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU TRÊN KHOẢNG CHO TRƯỚC
Với hàm số phân tuyến tính có tham số, các bạn cần chú ý đến các trường hợp hàm số suy biến. Cụ thể ta cần xét trường hợp hàm số suy biến thành hàm bậc nhất (nếu có). Còn trường hợp hàm suy biến thành hằng thì không cần xét vì trong trường hợp này hàm số cũng không phải hàm đơn điệu. Sau khi xét xong trường hợp suy biến (nếu có) thì các bạn có thể sử dụng kiến thức sau để giải toán.
Với bài trên đây, hi vọng rằng bạn sẽ có thêm nhiều kiến thức về hàm số và dạng toán tìm m. Mỗi dạng toán sẽ giúp bạn có thêm những kĩ năng riêng. Chúc bạn thành công trong kì thi sắp tới của mình !
