Với bài toán: Tìm tất cả các số âm x và y thỏa mãn
\[\[\left( {x^2 + y^2 } \right)\left( {x^2 + 1} \right) = 4x^2 y\]\]
Một học sinh đã giải như sau:
Ta có: \[\[\left( {x - y} \right)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 \ge 2xy(*)\]\]
Dấu "=" xảy ra khi x = y.
\[\[\left( {x - 1} \right)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + 1 \ge 2x(**)\]\]
Dấu "=" xảy ra khi x= 1.
Vì 2 vế của (*) và (**) không âm nên \[\[\left( {x^2 + y^2 } \right)\left( {x^2 + 1} \right) \ge 2xy.2x\]\]. Dấu "=" xảy ra khi x = y và x = 1. Tức là: x = y = 1 thì \[\[\left( {x^2 + y^2 } \right)\left( {x^2 + 1} \right) = 4x^2 y\]\]. Vậy chỉ khi x = y = 1 thì \[\[\left( {x^2 + y^2 } \right)\left( {x^2 + 1} \right) = 4x^2 y\]\].
Nhưng ta thấy x = y = 0 cũng thỏa mãn điều kiện đầu bài đấy chứ? Vậy tại sao lời giải trên lại thiếu nghiệm?
\[\[\left( {x^2 + y^2 } \right)\left( {x^2 + 1} \right) = 4x^2 y\]\]
Một học sinh đã giải như sau:
Ta có: \[\[\left( {x - y} \right)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 \ge 2xy(*)\]\]
Dấu "=" xảy ra khi x = y.
\[\[\left( {x - 1} \right)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + 1 \ge 2x(**)\]\]
Dấu "=" xảy ra khi x= 1.
Vì 2 vế của (*) và (**) không âm nên \[\[\left( {x^2 + y^2 } \right)\left( {x^2 + 1} \right) \ge 2xy.2x\]\]. Dấu "=" xảy ra khi x = y và x = 1. Tức là: x = y = 1 thì \[\[\left( {x^2 + y^2 } \right)\left( {x^2 + 1} \right) = 4x^2 y\]\]. Vậy chỉ khi x = y = 1 thì \[\[\left( {x^2 + y^2 } \right)\left( {x^2 + 1} \right) = 4x^2 y\]\].
Nhưng ta thấy x = y = 0 cũng thỏa mãn điều kiện đầu bài đấy chứ? Vậy tại sao lời giải trên lại thiếu nghiệm?
