Phương trình mặt phẳng.

[snow_96]

: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.​

1.Định nghĩa vectơ pháp tuyến và cặp VTCP của mp.
a. Vectơ gọi là VTPT của mp (P) nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với (P).
b.Cặp vectơ và ( không cùng phương) đgl cặp VTCP của mp(P) nếu chúng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc thuộc (P).
c.Nếu , là cặp VTCP của (P) thì một VTPT của (P) cho bởi công thức: = .
*Chú ý: Mỗi mp có nhiều cặp VTCP( hay có nhiều VTPT).
2.Phương trình tổng quát của mp:
+(P): Ax+ By+ Cz +D =0 có một VTPT: = (A; B;C) ( Với A2+B2+C2 >0).
+Phương trình (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có VTPT: = (A; B;C) là:
A(x- x0) +B( y – y0) +C(z-z0) =0.
+Phương trình mp theo đoạn chắn A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) là:
( Với a,b,c khác 0).
*Chú ý: (Oxy): z=0; (Oxz): y=0; (Oyz): x=0.
3. Chùm mặt phẳng:
Cho hai mặt phẳng cắt nhau (P): Ax+ By+ Cz +D =0 và
(P’): A’x+ B’y+ C’z +D’ =0. Phương trình chùm mp qua giao tuyến của hai mp(P) và (P’) có dạng:m( Ax+ By+ Cz +D)+n( Ax+ By+ Cz +D ) =0 vơi m và n không đồng thời bằng 0).
4.Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho (P): Ax+ By+ Cz +D =0 và (P’): A’x+ B’y+ C’z +D’ =0.
Có ba vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
+(P) cắt (P’) .
+(P) // (P’) .
+(P) (P) .
4. Góc giữa hai mặt phẳng:
Cho (P): Ax+ By+ Cz +D =0 có = (A; B;C)và
(P’): A’x+ B’y+ C’z +D’ =0 có ’= (A’; B’;C’).
Số đo góc nhọn ( 00 900) của hai mp(P) và (P’) cho bởi công thức:
.
*Chú ý: (P) (P’) khi cos =0 hay AA’ +BB’+CC’=0.
5.Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) và (P): Ax+ By+ Cz +D =0 cho bởi công thức :
d(M0;(P))= .

Bài tập 1: Lập phương trình tổng quát của mp:

1. Đi qua hai điểm E(4;-1;1), F(3;1;-1) và song song với trục Ox.

ĐS: y +z=0.

1. Đi qua A(1;2;3) và song song (P):x-4y +z +12=0 ĐS:x-4y+z+4 =0.
2. Đi qua ba điểm A(1;-1;2),B(0;3;0),C(2;1;0). ĐS: 2x+2y+3z -6=0.
3. Đi qua điểm I(2;6;-3) và song song với các mp tọa độ.

ĐS:z +3=0; x-2=0; y-6=0.

1. Chứa trục Ox và điểm P(4;-1;2) ĐS: 2y+z=0.
2. Chứa trục Oy và điểm Q(1;4;-3) ĐS: 3x+z =0.
3. Chứa trục Oz và điểm R(3;-4;7) ĐS: 4x+3y =0.

Bài tập 2: Lập phương trình tổng quát của mp:

1. mp đi qua điểm A( 2;1;-1) và vuông góc với đường thẳng xác định bởi hai điểm

B(-1;0;4),C(0;-2;-1). ĐS: x-2y-5z-5=0.

1. Mp trung trực của đoạn AB với A(1;3;-4) và B(-1;2;2).

ĐS:4x+2y-12z-17=0.

1. mp nhận điểm M(2;-1;-2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ ở trên mp đó. ĐS: 2x –y -2z -9 =0.
2. Đi qua hai điểm A(2;-1;4), B(3;2;-1) và vuông góc với

mp(P):x+y+2z-3=0. ĐS: 11x-7y-2z -21 =0.

1. Đi qua điểm M(3;-1;-5) đồng thời vuông góc với hai mp:

(P):3x -2y +2z +7 =0; (Q): 5x -4y +3z +1 =0. ĐS: 2x+y-2z -15 =0.
Bài tập 3:Lập phương trình mp trong các trường hợp sau:

1. Đi qua giao tuyến của hai mp (P): x+y +5z -1=0; (Q): 2x+3y-z+2=0 và đi qua điểm M(3;2;1) ĐS: 5x+14y – 74z +31 =0 ( 9m +13n =0).
2. Đi qua giao tuyến của hai mp (P): x+3y +5z -4=0; (Q): x-y-2z+7=0 và song song với trục Oy ĐS: 4x- z +17 =0 (3m –n =0).
3. Đi qua giao tuyến của hai mp (P): 2x-y +z +1=0; (Q): x+3y-z+2=0 và vuông góc với (R): -2x+2y+3z+3 =0. ĐS: 5x+8y- 2z+ 7=0( -3m+n=0).