: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.
+Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R:
(x-a)2 + (y-b)2 +( z- c)2 = R2.
+Phương trình: x2 +y2 +z2 + 2Ax+ 2By + 2Cz +D=0 là phương trình mặt cầu khi A2+ B2 +C2 – D > 0, Tâm I(-A; -B;-C ) và R= .
*Chú ý: Phương trình mặt cầu tâm O(0;0;0) có pt: x2 +y2 +z2 = 0.
2.Giao của mặt cầu và mặt phẳng:
Cho mp(P): Ax+By+Cz+D=0 và mặt cầu (S): (x-a)2 + (y-b)2 +( z- c)2 = R2.
Gọi H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P).
+Nếu d(I;(P))= IH > R: mp (P) và (S) không có điểm chung.
+ Nếu d(I;(P))= IH = R: mp (P) và (S) có điểm chung là H ( Điểm H gọi là tiếp điểm; mp(P) gọi là tiếp diện); .
+ Nếu d(I;(P))= IH <R: mp (P) và (S) có giao là một đường tròn có tâm H; bàn kính r= ; Phương trình đường tròn: .
(*Chú ý: Tọa độ tâm H là hình chiếu của tâm I trên mặt phẳng (P)).
Bài 1:Lập phương trình mặt cầu (S) trong các trường hợp sau:
a.(S) có tâm I(1,2,3)và bán kính R=5
b. (S) có tâm I(1,2,3) và qua điểm M(1,0,1)
Đ/S;a.
b.(x+1)2+(y-2)2+(z-3)2=12
Bài 2:Lập phương trình mặt cầu (S)
a.Có đường kính là AB Với A(6,2,-5) ;B(-4,0,7)
b.Có tâm I(3,5,-2) và tiếp xúc với mặt phẳng :2x-y-3z+11=0.
Đ/S:a.(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=62
b.(x-3)2+(y+5)2+(z+2)2=56
Bài 3:Trong mặt phẳng Oxyz cho tứ diện ABCD biết : A(1,1,1);B(1,2,1);C(1,1,2) D(2,2,1)
a.Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
b.Tìm tâm và bán kính mặt cầu đó
Đ/S: a.x2+y2+z2-3x-3y-3z+6=0
Bài 4:Cho mặt cầu (S):x2+y2+z2-2x-2z=0 và mặt phẳng ;4x+3y+m=0.
Biện luận theo m vị trí tương đối của (S) và
Bài 5:Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(S)
x-1)2+(y+3)2+(z-2)2=49 tại điểm M(7,-1,5)Đ/S:6x+2y+3z=0
Bài 6: Viết phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu
(S):x2+y2+z2-6x-2y+4z+5=0 tại điểm M(4,3,0)
Đ/S:x+2y+2z=10
Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz .
cho mặt cầu (S) có phương trình :x2+y2+z2-2x-4y-6z=0.
a.Xác định tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu trên
b.Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S)với mặt phẳng có phương trình :
x+y-z+k=0 tùy theo giá trị của k
c.Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng đi qua hai điểm M(1,1,1) và N(2,-1,5) và viết phương trình các mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại các giao điểm đó
Đ/S:d(I; )= ; MN: ;
M1(2;-1;5) với t1=1;M2( với t2=-3/7.
+(P1): x -3y +2z -15 =0;
+(P2): 21x + 7y + 182 z + 105 =0.
Bài 8:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(6,-2,3);B(0,1,6);
C(2,0,-1);D(4,1,0)
a.Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện
b.Tính thể tích tứ diện ABCD
c.Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm I và bán kính mặt cầu
d.Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A,B,C.Hãy tìm tâm và bán kính củađường tròn đó.
ĐS:
a. ; b. V= 12;c. x2 +y2 +z2 -4x+ 2y -6z -3=0.
d. I’(12/5;/-1/5;3), r = .
Bài tập 9:Cho đường thẳng D: và điểm I(2;3;-1).
a.Tìm VTCP của (D). Suy ra phương trình mặt phẳng (P) đi qua I và vuông gócvới D.
b.Tìm khoảng cách từ I đến (D). Suy ra phương trình mặt cầu (S) tâm I sao cho (D) cắt (S) tại A,B thỏa AB = 10.
Bài tập 10:Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
Bài tập 11: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳngD: và tiếp xúc mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +2x-6y +4z -15=0.
Bài tập 12: lập phương trình mặt phẳng song song hai đường thẳng:
(D): ; (D’): và tiếp xúc với mặt cầu
(S): x2 +y2 +z2 -10x+ 2y +26z -113=0.
Bài tập 13: Lập phương trình mặt cầu tâm I nằm trên đường thẳng:
a.(D): và tiếp xúc hai mặt phẳng (P): x+2y-2z-2=0; (P’):x+2y-2z-4=0
b. (D): và tiếp xúc với hai mặt phẳng(P): x+3y-2z-2=0; (P’):x+3y-2z-4=0
