Nào trước ki bước vào kì nghỉ để giải quyết bài toán trên Sơn sẽ giới thiệu cho các bạn 1 phương pháp để giải 1 số bài toán sử dụng các yếu tố hình học.
trước tiên bạn làm 1 bài toán đơn giản như sau:
tìm min của hàm số:
\[y=\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2+6x+10}\]
khi mơi nhìn thấy bài toán này các bạn thấy sao?
bây giờ mình sẽ sử lí nó nhé:
biến đổi: \[y=\sqrt{x^2-2x+5}+\sqrt{x^2+6x+10}=\sqrt{(x-1)^2+4}+\sqrt{(x+3)^2+1}\]
xét mặt phẳng tọa độ Oxy có A(x;0), B(1;2), C(-3;1)
dễ thấy là độ lớn của y là AB+AC với x chạy trên trục hoành
B và C nằm ở 2 phía của trục hoành vì thế \[AB+AC\geq BC=\sqrt{17}\]
dấu bằng sảy ra khi A là giao điểm của BC và trục hoành, phương trình đường thẳng BC là: x-4y+7=0
giao điểm với trục hoành là A(0;-7) vậy x = -7
NHẬN XÉT: (mời bạn tự rút ra nhận xét cho riêng mình)
Chú ý 1 điều là trong hình học không chỉ có 1 bất đẳng thức trong tam giác trên, hãy áp dụng linh hoạt để có được những cách giải hữu hiệu
Xét ví dụ:
VD2: các số a và b thỏa mãn đk
\[a^2+b^2-2a+4b+4=0\]
hãy tìm min max của biểu thức \[P=2b-a\]
bạn thấy sao khi nhìn thấy bài toán trên (??? hãy gửi cảm nhận nhé, mình thích nghe cảm nhận của các bạn)
Sơn sẽ giải quyết bài toán trên như thế này:
biến đổi giả thiết của bải toán thành:
\[(a-1)^2+(b+2)^2=1 (*)\]
và \[P=0,5(a^2+b^2-4)\]
bài toán trở thành tìm min max của \[a^2+b^2\]
xét đường tròn I(1;-2) bán kính R = 1
điểm A(a;b) vậy A nằm trên đường tròn đó (vì a, b thỏa mãn (*) mà để ý (*) là phương trình đương tròn nói trên)
vậy \[OA^2=a^2+b^2\]
(vẽ hình đi nào!). Hình dung O cố định và A chạy trên 1 đường tròn như vậy!
mà O nằm ngoài đường tròn trên nên OA min và max thì điểm A đều nằm trên OI
(vẽ hình đi)
Công việc còn lại các bạn tự làm được rồi chứ?! (chỉ là đi tìm tọa độ giao điểm của OI với đường tròn, sẽ có 2 điểm 1 là với OA min và 1 với OA max. rồi tính độ lớn AO)
NHẬN XÉT: (các bạn hãy tự rút ra nhận xét rồi nói cho mình biết nhé!)
Quay trở lại với bài toán nói trên:
\[\left{ x+y+\sqrt{2xy-\frac{1}{2}}\geq 1 \\ x+y\leq 1\]
xét phương trình trên:
biến đổi tương đương được:
\[2xy-\frac{1}{2}\geq (1-x-y)^2\Leftrightarrow ((x-1)^2+(y-1)^2\leq \frac{1}{2}\]
rồi! bây giờ xét đường tròn (C) tâm I(1;1) bán kính \[\frac{1}{\sqrt{2}}\]
và đường thẳng \[(d):x+y-1=0\[
dễ dàng có được đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn C
vậy hệ bất phương này chỉ có 1 nghiệm duy nhất, do với hệ 1 thì là tập hợp các điểm nằm trong đường tròn
vậy công việc còn lại tìm tiếp điểm, các bạn tự tìm nhé!
(các bạn thấy cách này thế nào? nếu hay thì thanks nhé!)
