HÌNH HỌC 9: CHƯƠNG 4: BÀI 2: HÌNH NÓN. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH CỦA HÌNH NÓN
Bài 2. Hình nón - Hình nón cụt - Diện tích xung quanh và thể tích của hình nón, hình nón cụt.
1. Hình nón
Khi quay tam giác vuông AOC một vòng quanh cạnh góc vuông OA cố định thì được một hình nón (h. 87). Khi đó:
- Cạnh OC quét nên đáy của hình nón, là một hình tròn tâm O.
- Cạnh AC quét nên mặt xung quanh của hình nón, mỗi vị trí của AC được gọi là một đường sinh. Chẳng hạn AD là một đường sinh.
- A được gọi là đỉnh và AO gọi là đường cao của hình nón.
?1. Chiếc nón (h. 88) có dạng mặt xung quanh của một hình nón. Quan sát hình và cho biết, đâu là đường tròn đáy, đâu là mặt xung quanh, đâu là đường sinh của hình nón.
2. Diện tích xung quanh hình nón
Cắt mặt xung quanh của một hình nón dọc theo một đường sinh của nó rồi trải phẳng ra, ta được hình khai triển là một hình quạt tròn có tâm là đỉnh hình nón, bán kính bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng độ dài đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón bằng diện tích của hình quạt tròn khai triển (h. 89).
Gọi bán kính đáy của hình nón là r, đường sinh là l .
Theo công thức tính độ dài cung, ta có:
Độ dài của cung hình quạt tròn là:
Từ đó ta có :
- Diện tích xung quanh của hình nón là:
Giải:
Độ dài đường sinh của hình nón :
3. Thể tích hình nón
Có hai dụng cụ, một hình trụ và một hình nón có đáy là hai hình tròn bằng nhau. Chiều cao của hình nón bằng chiều cao của hình trụ (h. 90).
Nếu ta dùng dụng cụ có dạng như hình nón nói trên, múc đầy nước rồi đổ hết vào dụng cụ hình trụ thì thấy chiều cao của cột nước này chỉ bằng 1/3 chiều cao của hình trụ.
Qua thực nghiệm, ta thấy:
4. Hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình tròn. Phần hình nón nằm giữa mặt phẳng nói trên và mặt đáy được gọi là một hình nón cụt (h. 92).
5. Diện tích xung quanh và thể tích hình nón cụt
Cho hình nón cụt có r[SUB]1[/SUB], r[SUB]2[/SUB] là các bán kính đáy, là độ dài đường sinh, là chiều cao (h.92).
Kí hiệu S[SUB]xq[/SUB] là diện tích xung quanh và V là thể tích hình nón cụt.
Quan sát hình 92, ta nhận thấy S[SUB]xq[/SUB] là hiệu diện tích xung quanh của hình nón lớn và hình nón nhỏ, V cũng là hiệu thể tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ.
Ta có các công thức sau:
Bài Tập
15. Một hình nón được đặt vào bên trong một hình lập phương như hình vẽ (cạnh của hình lập phương bằng 1) (h. 93).
Hãy tính:
a) Bán kính đáy của hình nón.
b) Độ dài đường sinh.
16. Cắt mặt xung quanh của một hình nón theo một đường sinh và trải phẳng ra thành một hình quạt. Biết bán kính hình quạt tròn bằng độ dài đường sinh và độ dài cung bằng chu vi đáy.
Quan sát hình 94 và tính số đo cung của hình quạt tròn.
17. Khi quay tam giác vuông để tạo ra một hình nón như ở hình 87 thì góc CAO gọi là nửa góc ở đỉnh của hình nón. Biết nửa góc ở đỉnh của một hình nón là 30[SUP]0[/SUP], độ dài đường sinh là a. Tính số đo cung của hình quạt khi khai triển mặt xung quanh của hình nón.
18. Hình ABCD (h. 95) khi quay quanh BC thì tạo ra:
(A) Một hình trụ;
(B) Một hình nón;
(C) Một hình nón cụt;
(D) Hai hình nón;
(E) Hai hình trụ;
Hãy chọn câu trả lời đúng.
19. Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt. Nếu bán kính hình quạt là 16 cm, số đo cung là 120[SUP]0[/SUP] thì độ dài đường sinh của hình nón là:
20. Hãy điền đầy đủ vào các ô trống ở bảng sau (xem hình 96)
21. Cái mũ của chú hề với các kích thước cho theo hình vẽ (h. 97). Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên cái mũ (không kể riềm, mép, phần thừa).
22. Hình 98 cho ta hình ảnh của một cái đồng hồ cát với các kích thước kèm theo (AO = OB).
Hãy so sánh tổng các thể tích của hai hình nón và thể tích hình trụ.
Luyện Tập
23. Viết công thức tính nửa góc ở đỉnh của một hình nón (hình 99) sao cho diện tích mặt khai triển của mặt nón bằng một phần tư diện tích của hình tròn (bán kính SA).
24. Hình khai triển của mặt xung quanh của một hình nón là một hình quạt, bán kính hình quạt đó là 16 cm, số đo cung là 120[SUP]0[/SUP]. Tang của nửa góc ở đỉnh của hình nón là:
25. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón cụt biết hai bán kính đáy là a, b (a < b) và độ dài đường sinh là (a, b, có cùng đơn vị đo).
26. Hãy điền đủ vào các ô trống cho ở bảng sau (đơn vị độ dài: cm):
27. Một dụng cụ gồm một phần có dạng hình trụ, phần còn lại có dạng hình nón. Các kích thước cho trên hình 100.
Hãy tính:
a) Thể tích của dụng cụ này.
b) Diện tích mặt ngoài của dụng cụ (không tính nắp đậy).
28. Một cái xô bằng inốc có dạng hình nón cụt đựng hóa chất, có các kích thước cho ở hình 101 (đơn vị: cm).
a) Hãy tính diện tích xung quanh của xô.
b) Khi xô chứa đầy hóa chất thì dung tích của nó là bao nhiêu ?
29. Cối xay gió của Đôn-ki-hô-tê (từ tác phẩm của Xéc-van-téc (Cervantès))
Phần trên của cối xay gió có dạng một hình nón (h. 102). Chiều cao của hình nón là 42 cm và thể tích của nó là 17 600 cm[SUP]3[/SUP].
Em hãy giúp chàng Đôn-ki-hô-tê tính bán kính đáy của hình nón (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
