Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 3. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ
§3 MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ
1. Định nghĩa mặt trụ
Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng l song song với ∆, cách ∆ một khoảng R (h.42).
Hình 42
Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh ∆ được gọi là mặt trụ tròn xoay (hoặc đơn giản là mặt trụ).
∆ gọi là trục của mặt trụ, l gọi là đường sinh của mặt trụ R gọi là bán kính của mặt trụ.
Chúng ta dễ dàng nhận thấy :
a) Mặt trụ nói trên là tập hợp tất cả các điểm M cách đường thẳng ∆ cố định một khoảng R không đổi.
b) Nếu M[SUB]1[/SUB] là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ thì đường thẳng l[SUB]1[/SUB] đi qua M[SUB]1[/SUB] và song song với ∆ cũng nằm trên mặt trụ đó (vì mọi điểm củal[SUB]1[/SUB] đều cách ∆ một khoảng R). Như vậy, có thể xem mặt trụ sinh bởi đường thẳng l[SUB]1[/SUB], nói cách khác, đường thẳng l[SUB]1[/SUB] cũng là một đường sinh của mặt trụ.
Cho mặt trụ
a) Mặt phẳng (P) đi qua ∆.
b) Mặt phẳng (P) song song với ∆.
c) Mặt phẳng (P) vuông góc với ∆.
2. Hình trụ và khối trụ
Các mặt trục
Hình 43
Phần mặt trụ
Hai đường tròn (
Nếu gọi O và O[SUP]’[/SUP] là tâm của hai hình tròn đáy thì đoạn thẳng OO[SUP]’[/SUP] (nằm trên ∆) gọi là trục của hình trụ.
Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.
Với mỗi điểm M ∈ (
Ta cũng dễ thấy rằng mỗi hình trụ phân chia không gian thành hai phần, phần bên trong hình trụ và phần bên ngoài hình trụ.
Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là khối trụ.
Ví dụ 1. Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đườngtròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ. Tính cạnh của hai hình vuông đó.
Giải (h.44). Gọi C[SUP]’[/SUP] là hình chiếu của C trên mặt đáy chứa AB thì AB⊥BC[SUP]’[/SUP](vì AB⊥BC). Vậy AC[SUP]’[/SUP] là đường kính của đường tròn đáy hay AC[SUP]’[/SUP]=2R.Từ các tam giác vuông ABC[SUP]’ [/SUP]và CBC[SUP]’[/SUP], ta có
BC[SUP]’2 [/SUP]= AC[SUP]’2[/SUP]- AB[SUP]2 [/SUP]= 4R[SUP]2 [/SUP]- AB[SUP]2[/SUP] ;
BC[SUP]’2 [/SUP]= BC[SUP]2[/SUP]- CC[SUP]’2 [/SUP]= AB[SUP]2 [/SUP]- R[SUP]2[/SUP].
Hình 44
3. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ
Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.
Ta có định nghĩa :
Diện tích xung quanh của hình trụ là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Thể tích của khối trụ (còn gọi là thể tích của hình trụ) là giới hạn của thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.
Cho hình trụ
Hình 45
Ta biết rằng S=p.h, trong đó p là chu vi đáy của lăng trụ
Vậy ta có :
Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.
Thể tích của khối trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
Ví dụ 2. Cho hình trụ
a) Hãy so sánh diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.
b) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ (diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy của nó).
c) Hãy so sánh thể tích của khối trụ
Hình 46
Giải
a) Dễ thấy rằng diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng nhau và bằng 4πR[SUP]2[/SUP].
b) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng 4πR[SUP]2 [/SUP]+4πR[SUP]2 [/SUP]= 8πR[SUP]2[/SUP].
Vậy diện tích mặt cầu bằng
c) Thể tích của khối cầu là V[SUB](S)[/SUB]=
Thể tích của khối trụ là V[SUB]T[/SUB]= πR[SUP]2[/SUP].2R=2πR[SUP]3[/SUP].
Vậy thể tích của khối cầu bằng
Em hãy làm thử!
Cắt mặt xung quanh của hình trụ (tức hình trụ bỏ đi hai đáy) theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và cạnh kia bằng chu vi đường tròn đáy. Khi đó, diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ (h.47).
Hình 47
Bài đọc thêm
GIAO TUYẾN ELIP CỦA MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ MẶT PHẲNG
Cho mặt phẳng tròn xoay
Ta biết rằng :
- Nếu (α) vuông góc với ∆ thì giao là một đường tròn có bán kính R.
- Nếu (α) song song với ∆ thì giao có thể là hai đường sinh, một đường sinh hoặc là tập rỗng.
Bây giờ, giả sử (α) là mặt phẳng cắt ∆ nhưng không vuông góc với ∆ (h.48). Ta hãy xem giao của (α) và
Hình 48
Ta hãy lấy một mặt cầu bán kính R bỏ vào mặt trụ từ trên xuống cho đến khi nó dừng lại vì tiếp xúc với mp(α). Như vậy là ta có mặt cầuS(O[SUB]1[/SUB] ; R) tiếp xúc với mọi đường sinh của mặt trụ
Giả sử M là một điểm thuộc (α)∩
MF[SUB]1[/SUB]+MF[SUB]2[/SUB]=MM[SUB]1[/SUB]+MM[SUB]2[/SUB]=M[SUB]1[/SUB]M[SUB]2[/SUB]=O[SUB]1[/SUB]O[SUB]2.[/SUB]
Như vậy, (α)∩
Tóm lại : Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng cắt trục và không vuông góc với trục của mặt trụ thì giao tuyến là một đường elip.
Câu hỏi và bài tập
11. Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng.
12. Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay :
a) Sinh bởi ba cạnh của một hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư ;
b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.
13. Cho đường tròn (O ; R) nằm trong mặt phẳng (P). Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đường tròn đã cho.
14. Chứng minh các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.
15. Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Tính thể tich của khối trụ.
c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.
16. Một hình trụ có bán kình R và chiều cao R
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b) Cho điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 30[SUP]o[/SUP]. Tính khoảng cách giữaAB và trục của hình trụ.
Nguồn: SƯU TẦM
