Hình 11: Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc

[Thandieu2]

Hình 11: Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc
​

1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng ∆[SUB]1[/SUB], ∆[SUB]2[/SUB] bất kì trong không gian. Từ điểm O nào đó, ta vẽ hai đường thẳng ∆’[SUB]1[/SUB], ∆’[SUB]2[/SUB] lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆[SUB]1[/SUB], ∆[SUB]2[/SUB]. Dễ thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa ∆’[SUB]1[/SUB] và ∆’[SUB]2[/SUB] không thay đổi (h.93).

Hình 93





Vì vậy ta có định nghĩa sau

ĐỊNH NGHĨA 1
Góc giữa hai đường thẳng ∆[SUB]1[/SUB] và ∆[SUB]2[/SUB] là góc giữa hai đường thẳng ∆’[SUB]1[/SUB] và ∆’[SUB]2[/SUB] cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆[SUB]1[/SUB] và ∆[SUB]2[/SUB].

Nhận xét
1) Để xác định góc giữa hai đường thẳng ∆[SUB]1[/SUB] và ∆[SUB]2[/SUB], ta có thể lấy điểm O nói trên thuộc một trong hai đường thẳng đó.
2) Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90[SUP]0[/SUP].
3) Nếu

lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng ∆[SUB]1[/SUB], ∆[SUB]2[/SUB] và

thì góc giữa hai đường thẳng ∆[SUB]1[/SUB] và ∆[SUB]2[/SUB] bằng αnếu α≤ 90[SUP]0[/SUP] và bằng 180[SUP]0[/SUP] - α nếu α > 90[SUP]0[/SUP].

Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABCD có
SA = SB = SC = AB = AC = a và

.
Tính góc giữa hai đường thẳng SC và AB ( h. 94 ).

Hình 94

Các mặt của hình chóp S.ABC là những tam giác có gì đặc biệt?

Giải
Cách 1. Ta tính góc giữa hai vectơ

.
Ta có

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60[SUP]0[/SUP].
Cách 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, AC. Khi đó MN // AB, MP // SC. Để tính góc giữa hai đường thẳng SC vàAB, ta cần tính

.
Ta có

Mặt khác

do đó

suy ra

Vậy góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng 60[SUP]0[/SUP].

2. Hai đường thẳng vuông góc
ĐỊNH NGHĨA 2

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90[SUP]0[/SUP].


Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta còn nói gọn là hai đường thẳng a và b vuông góc, và kí hiệu a ⊥ b hay b ⊥a. Như vậy

, ở đó

và

lần lượt là các vectơ chỉ phương của a và b.
Từ định nghĩa trên, ta có nhận xét sau
Nhận xét
Mọi đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.

1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng nhau ( hình hộp như thể gọi là hình hộp thoi). Hãy giải thích tại sao AC⊥B’D’.

Ví dụ 2
Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và

Tính diện tích tứ giác A’B’CD.
Giải(h.95)

Hình 95






Trước hết ta dễ thấy A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra B’C = a = CD nên A’B’CD là hình thoi. Ta sẽ chứng minh A’B’CD là hình vuông.
Thật vậy, ta có

Vậy có CB’⊥CD, do đó A’B’CD là hình vuông.
Từ đó diện tích hình vuông A’B’CD bằng a[SUP]2[/SUP].

Ví dụ 3
Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB⊥AC, AB⊥BD. Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho

. Chứng minh rằng AB và PQ vuông góc với nhau (h.96).

Hình 96

2. (Để giải ví dụ 3)

Tính tích vô hướng của

. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 4
Tính các góc giữa các cặp đường thẳng DA và BC, DB và AC, DC và AB của tứ diện ABCD, biết rằng DA = BC = a, DB = AC = b, DC = AB = c.
Giải
Theo kết quả ở ví dụ 2 bài 1, ta có

Vậy góc giữa hai đường thẳng BC và AD là α mà

.
Tương tự như trên, nếu gọi β và γ lần lượt là các góc giữa các cặp đường thẳng AC và BD, AB và DC thì

Câu hỏi và bài tập

7. Mỗi khẳng định sau có đúng không?
a) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.

8. a) Cho vectơ

khác

và hai vectơ

,

,

không đồng phẳng.
b) Chứng minh rằng ba vectơ cùng vuông góc với vectơ

≠

thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.

9. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và

. Chứng minh rằng SA⊥BC, SB⊥AC, SC⊥AB.

10. Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu

thì AB⊥CD, AC⊥BD, AD⊥BC. Điều ngược lại có đúng không?

11. Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD và

. Chứng minh rằng:
a) AB⊥CD;
b) Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì IJ⊥AB và IJ⊥CD.

SƯU TẦM