Hình 10: Chương 3. Bài 1: Phương trình tổng quát của đường thẳng

[Thandieu2]

Toán 10- Nâng Cao - Chương 3 - BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
​

CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

​

Bằng cách đưa vào mặt phẳng một hệ trục tọa độ, mỗi vectơ, mỗi điểm trên mặt phẳng đó đều được xác định bởi tọa độ của nó. Khi đó chúng ta có thể chuyển nhiều bài toán hình học sang bài toán đại số và ngược lại, từ kết quả của đại số suy ra được một số tính chất và mối quan hệ giữa các hình hình học.

​

Yêu cầu đối với các em khi học chương này là
- Lập được phương trình đường thẳng, đường tròn, đường cônic khi biết các yếu tố xác định mỗi đường.
- Nhớ và vận dụng được các biểu thức tọa độ vào việc tính khoảng cách, tính góc.

BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG

​

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Trên hình 65, ta có các vectơ

khác

mà giá của chúng đều vuông góc với đường thẳng

. Khi đó, ta gọi

là nhữngvectơ pháp tuyến của

.

​

ĐỊNH NGHĨA
Vectơ

khác

, có giá vuông góc với đường thẳng

gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng

.
?1 Mỗi đường thẳng có bao nhiêu vectơ pháp tuyến? Chúng liên hệ với nhau như thế nào?
?2 Cho điểm I và vectơ

. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua I và nhận

là vectơ pháp tuyến?
Bài toán
Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm I(x[SUB]0[/SUB], y[SUB]0[/SUB]) và vectơ . Gọi

là đường thẳng đi qua I, có vectơ pháp tuyến là

. Tìm điều kiện của x và y để điểm M(x ; y) nằm trên

.
Giải. (h. 66)

​

Điểm Mnằm trên

khi và chỉ khi

, hay

(*)
Ta có

và

nên (*) tương đương với
a(x – x[SUB]0[/SUB]) + b(y – y[SUB]0[/SUB]) = 0(1)
Đây chính là điều kiện cần và đủ để M(x ; y) nằm trên

.
Biến đổi (1) về dạng ax + by – ax[SUB]0[/SUB] – by[SUB]0[/SUB] = 0 và đặt ­–ax[SUB]0[/SUB] – by[SUB]0[/SUB] = c, ta được phương trình
ax + by + c = 0 (a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP]≠ 0)
và gọi là phương trình tổng quátcủa đường thẳng

.

Tóm lại,

Ngược lại, ta có thể chứng minh được rằng: Mỗi phương trình dạng
ax + by + c = 0, với(a[SUP]2[/SUP] + b[SUP]2[/SUP] ≠ 0)
đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng xác định, nhận

là vectơ pháp tuyến.
?3Mỗi phương trình sau có phải là phương trình tổng quát của đường thẳng không? Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó:

1. Cho đường thẳng

có phương trình tổng quát là 3x – 2y + 1 = 0.
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng

.
b) Trong các điểm sau đây, điểm nào thuộc

, điểm nào không thuộc

?

Ví dụ. Cho tam giác có ba đỉnh A = (-1 ; -1), B = (-1 ; 3), C = (2 ; -4). Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A.
Giải. Đường cao cần tìm là đường thẳng đi qua A và nhận

là một vectơ pháp tuyến. Ta có

và A = (-1 ; -1) nên theo (1), phương trình tổng quát của đường cao đó là 3(x + 1) – 7(y + 1) = 0 hay 3x – 7y – 4 = 0.

Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát

2. Cho đường thẳng

: ax + by + c = 0. Em có nhận xét gì về vị trí tương đối của

và các trục tọa độ khi a = 0 ? khi b = 0 ? khi c = 0 ?
GHI NHỚ
Đường thẳng by + c = 0 song song hoặc trùng với trục Ox (h. 67a).
Đường thẳng ax + c = 0 song song hoặc trùng với trục Oy (h. 67b).
Đường thẳng ax + by = 0 đi qua gốc tọa độ (h. 67c).

​

​

​

3.Cho hai điểm A(a ; 0) và B(0 ; b), với ab ≠ 0 (h. 68).
a) Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng

đi qua A và B.
b) Chứng tỏ rằng phương trình tổng quát của

tương đương với phương trình

.

​

GHI NHỚ
Đường thẳng có phương trình

(2)
đi qua hai điểm A(a ; 0) và B(0 ; b).
Phương trình dạng (2) được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
?4Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A(-1 ; 0) và B(0 ; 2).

CHÚ Ý:
Xét đường thẳng

có phương trình tổng quát ax + by + c = 0.
Nếu b ≠ 0 thì phương trình trên đưa được về dạng
y = kx + m(3)
với

. Khi đó k là hệ số góc của đường thẳng

và (3) gọi là phương trình của

theo hệ số góc.
Ý nghĩa hình học của hệ số góc (h. 69)

​

Xét đường thẳng

: y = kx + m.
Với k ≠ 0, gọi M là giao điểm của

với trục Ox và Mt là tia của

nằm trên Ox. Khi đó, nếu α là góc hợp bởi hai tia Mtvà Mx thì hệ số góc của đường thẳng

bằng tang của góc α, tức là k = tanα.
Khi k= 0 thì

là đường thẳng song song hoặc trùng với trục Ox.
?5. Mỗi đường thẳng sau đây có hệ số góc bằng bao nhiêu? Hãy chỉ ra góc α tương ứng với hệ số góc đó.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng

có phương trình

Vì số điểm chung của hai đường thẳng bằng số nghiệm của hệ gồm hai phương trình trên, nên từ kết quả của đại số ta có
a) Hai đường thẳng

cắt nhau khi và chỉ khi

b) Hai đường thẳng

song song khi và chỉ khi

Hoặc

c) Hai đường thẳng

trùng nhau khi và chỉ khi

Trong trường hợp a[SUB]2[/SUB], b[SUB]2[/SUB], c[SUB]2[/SUB] đều khác 0, ta có

?6.Từ tỉ lệ thức

, có thể nói gì về vị trí tương đối của

?
?7. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

trong mỗi trường hợp sau

Câu hỏi và bài tập

​

1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Đường thẳng song song với trục Ox có phương trình y = m (m ≠ 0);
b) Đường thẳng có phương trình x = m[SUP]2[/SUP] + 1 song song với trục Oy;
c) Phương trình y = kx + b là phương trình của đường thẳng;
d) Mọi đường tròn đều có phương trình dạng y = kx + b.
e) Đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0) và B(0 ; b) có phương trình

.

2.Viết phương trình tổng quát của
a) Đường thẳng Ox ;
b) Đường thẳng Oy ;
c) Đường thẳng đi qua M(x[SUB]0[/SUB] ; y[SUB]0[/SUB]) và song song với Ox ;
d) Đường thẳng đi qua M(x[SUB]0[/SUB] ; y[SUB]0[/SUB]) và vuông gócvới Ox ;
e) Đường thẳng OM, với M(x[SUB]0[/SUB] ; y[SUB]0[/SUB]) khác điểm O.

3. Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là
AB : 2x – 3y – 1 = 0;
BC : x + 3y + 7 = 0;
CA :5x – 2y + 1 = 0.
Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.

4.Cho hai điểm P(4 ; 0), Q(0 ; -2).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm A(3 ; 2) và song song với đường thẳng PQ;
b) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.

5.Cho đường thẳng d có phương trình x – y = 0 và điểm M(2 ; 1).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.
b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.

6. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng
a) 2x– 5y + 3 = 0 và 5x + 2y – 3 = 0 ;
b) x– 3y + 4 = 0 và 0,5x – 1,5y + 4 = 0 ;
c) 10x+ 2y – 3 = 0 và 5x + y – 1,5 = 0 ;



SƯU TẦM