Hình 10- Nâng Cao - Chương 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG - Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
Bài 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ (từ 0[SUP]o[/SUP] đến 180[SUP]o[/SUP])
Ở lớp 9, các em đã biết về giá trị lượng giác (tỉ số lượng giác): sin, côsin, tang, côtang của một góc nhọn α và kí hiệu là sinα, cosα, tanα, cotα.
Trên hình 32 có một hệ tọa độ Oxy và một nửa đường tròn tâm O bán kính R = 1, nằm phía trên trục Ox. Ta gọi nó là nửa đường tròn đơn vị.
Nếu cho trước một góc nhọn α thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
Bây giờ chúng ta mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho góc α bất kì (0[SUP]o[/SUP]≤ α ≤ 180[SUP]o[/SUP]). Ta làm điều đó bằng cách vẫn dùng nửa đường tròn đơn vị như trên.
1. Định nghĩa
Các số sinα, cosα, tanα, cotα gọi là các giá trị lượng giác của góc α.
Như vậy
Ví dụ 1. Tìm các giá trị lượng giác của góc 135[SUP]o[/SUP].
Giải. (h.33) Ta lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
?1. Tìm các giá trị lượng giác của các góc 0[SUP]o[/SUP], 180[SUP]o[/SUP], 90[SUP]o[/SUP].
?2. Với các góc α nào thì sinα < 0 ? Với các góc α nào thì cosα < 0?
Lấy hai điểm M và M’ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho MM’ // Ox.
a) Tìm sự liên hệ giữa hai góc
b) Hãy so sánh các giá trị lượng giác của hai góc α và α’.
Từ đó ta suy ra các tính chất sau đây
Nếu hai góc bù nhau thì sin của chúng bằng nhau, còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau; nghĩa là
sin(180[SUP]o[/SUP] - α) = sin α;
cos(180[SUP]o[/SUP] - α) = -cos α;
tan(180[SUP]o[/SUP] - α) = -tan α (α≠ 90[SUP]o[/SUP])
cot(180[SUP]o[/SUP] - α) = -cot α(0[SUP]o[/SUP] < α < 180[SUP]o[/SUP]).
Ví dụ 2. Tìm các giá trị lượng giác của góc 150[SUP]o[/SUP].
Giải. Góc 150[SUP]o[/SUP] bù với góc 30[SUP]o[/SUP] nên
2. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
Sau đây là giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt mà ta nên nhớ (trong bảng dưới đây, kxđ là viết tắt của nhóm từ không xác định). Giá trị lượng giác của các góc bất kì có thể tìm thấy trong bảng số hoặc bằng máy tính bỏ túi.
Em có biết ?
Từ xa xưa, do nhu cầu đo đạc thiên văn, nhiều nhà toán học đã lập bảng độ dài dây cung căng bởi cung tròn (bán kính cho trước) có số đo 1[SUP]o[/SUP], 2[SUP]o[/SUP], 3[SUP] o[/SUP],…, 180[SUP] o[/SUP], trong đó có Hip-pac (Hipparque) ở thế kỉ thứ II trước công nguyên, Ptô-lê-mê (Ptolemey) ở thế kỉ thứ II sau công nguyên, v.v… Đó là nguồn gốc của khái niệm sin. Qua nhiều giai đoạn lịch sử, từ “jiva” (tiếng Ấn, có nghĩa là “dây cung”) được diễn dịch, phiên âm, đổi dần thành từ sinus bởi các nhà thiên văn, toán học như An Bat-ta-ni (Al Battani) ở thế kỉ thứ X, Giê-ra Crê-môn (Gérard Crémone) ở thế kỉ thứ XII, v.v…
Khái niệm tang, côtang nảy sinh từ việc khảo sát bong của vật thẳng đứng trên nền nằm ngang để tìm giờ trong ngày. Từ xa xưa, người ta cũng đã lập bảng các “bóng” (tức bảng tang, côtang).
Đến thế kỉ thứ XVI mới xuất hiện kí hiệu sin, tang (Tô-mat Phin (Thomas Finck)) và đầu thế kỉ thứ XVII mới xuất hiện kí hiệu côsin, côtang để chỉ sin, tang của góc phụ (Et-mơn Gơn-tơ (Edmund Gunter)). Các kí hiệu này dần dần được chấp nhận và sử dụng phổ cập.
Câu hỏi và bài tập
1.Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dung máy tính bỏ túi hoặc bảng số).
a) (2sin30[SUP]o[/SUP] + cos135[SUP]o[/SUP] – 3tan150[SUP]o[/SUP])(cos180[SUP]o[/SUP] – cot60[SUP]o[/SUP]);
b) sin[SUP]2[/SUP]90[SUP]o[/SUP] + cos[SUP]2[/SUP]120[SUP]o[/SUP]+ cos[SUP]2[/SUP]0[SUP]o[/SUP] – tan[SUP]2[/SUP]60[SUP]o[/SUP] + cot[SUP]2[/SUP]135[SUP]o[/SUP]
2.Đơn giản biểu thức
a) sin100[SUP]o[/SUP] + sin80[SUP]o[/SUP] + cos16[SUP]o[/SUP] + cos164[SUP]o[/SUP];
b) 2sin(180[SUP]o[/SUP] - α)cotα– cot(180[SUP]o[/SUP] - α)tanαcot(180[SUP]o[/SUP] - α) với 0[SUP]o[/SUP] < α < 90[SUP]o[/SUP]
3.Chứng minh các hệ thức sau
a) sin[SUP]2[/SUP]α + cos[SUP]2[/SUP]α = 1;
b)
c)
SƯU TẦM
