Hàm số và ứng dụng

[son93]

Ôi diễn đàn ế ẩm quá:
Mình bồi bài này nhé:
cho hàm số \[y=\frac{x-2}{x+2}\] Tìm M trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất!

 

[Spider_man]

Gọi \[M(x,y) \in (H)\\] => tổng các khoảng cách từ M đến Ox, Oy là:

\[d(M) = |MH| + |MK| = |x| + |y| = |x| + |\frac{{x - 2}}{{x + 2}}|\\]

Vì \[M(2,0) \in (H) = > d(M) = 2\\]

Do đó, tìm min d(M) ta xét (ôi không biết gõ cái dấu “và” để nối 2 điều kiện):

\[|x| < 2 = > - 2 < x < 2\\]

Và (gõ tạm chữ “và” ra vậy)

\[|y| < 1 = > |\frac{{x - 2}}{{x + 2}}| < 2 = > 2 - x < x + 2 = > x > 0\\]

Tóm lại là 0<x<2 và với cái đó thì \[d(M) = |MH| + |MK| = |x| + |y| = |x| + |\frac{{x - 2}}{{x + 2}}|\\]

Tiếp theo ta dùng cosi:

\[d(M) = x + \frac{{2 - x}}{{2 + x}} = x + 2 + \frac{4}{{x + 2}} - 3 \ge 2\sqrt {(x + 2)\frac{4}{{(x + 2)}}} - 3 = 1\\]

\[ = > \min d(M) = 1\\] xảy ra khi:

0<x<2

và

\[x + 2 = \frac{4}{{x + 2}}\\]

Cuối cùng là xét dấu “=” xảy ra khi nào, tìm được nghiệm x kết hợp điều kiện ta có tọa độ M. (cụ thể như nào thì thôi nhé)