[Giúp] Toán nâng cao lớp 8

[miruna]

Bài 1: Cho đa thức Q(x) = ax^2 + bx + c (a,b,c là hằng số) biết Q(0) € Z ; Q(1) € Z; Q(2) € Z
a, CMR: c € Z; a + b € Z; 2a € Z
b, CMR: Q(x) € Z với mọi x € Z

Bài 2: Xác định a,b để A=x^3 + ax^2 + bx + 2 chia cho x+1 thì còn 5 và chia cho x+2 còn dư 8
Bài 3: Tìm P(x) chia cho x+1 dư 3; chia cho x-2 dư 6 và (x+1)(x+2) được thương là 2x và còn dư
Bài 4: Cho n>1 CMR: n^n – n^2 + n – 1 chia hết cho (n-1)^2 với n € N
Bài 5: Tìm x € Z sao cho x^3 - 8x^2 + 2x chia hết cho x^2+1

 

[Aquarius]

Bài 4: Cho n>1 CMR: n^n – n^2 + n – 1 chia hết cho (n-1)^2 với n € N
Với n = 2 thì Với n>2 ta có: \[{n}^{n}-{n}^{2}+n-1\]
= \[{n}^{2}({n}^{n-2}-1)+(n-1)\]
=\[{n}^{2}(n-1)({n}^{n-3}+{n}^{n-4}+...+1)+(n-1)\]
=\[(n-1)({n}^{n-1}+{n}^{n-2}+...+{n}^{2}+1)\]
Vì tổng \[{n}^{n-1}+{n}^{n-2}+...+{n}^{2}+1\] có n-1 số hạng
\[\Rightarrow {n}^{n-1}+{n}^{n-2}+...+{n}^{2}+1 = ({n}^{n-1}-1)+({n}^{n-2}-1)+...+({n}^{2}-1)+(1-1)+(n-1) \] chia hết cho n-1
\[\Rightarrow \]dpcm

 

[NguoiDien]

Bài 1: Cho đa thức Q(x) = ax^2 + bx + c (a,b,c là hằng số) biết Q(0) € Z ; Q(1) € Z; Q(2) € Z
a, CMR: c € Z; a + b € Z; 2a € Z
b, CMR: Q(x) € Z với mọi x € Z

\[Q(0)=c\]

\[Q(1)=a+b+c\]

\[Q(2)=4a+2b+c\]

\[Q(0)\in Z\] nên \[c\in Z\]

\[Q(1)\in Z\] và \[c\in Z\] nên \[a+b=Q(1)-c\in Z\]

\[Q(2)\in Z\] và \[a+b\in Z, c\in Z\] nên \[2a=Q(2)-2(a+b)-c\in Z\] suy ra \[a\in Z\]

Từ trên, \[a\in Z, c\in Z, a+b\in Z\] nên \[b\in Z\]

Vậy với mọi \[x\in Z\] thì \[ax^2\in Z, bx\in Z\], \[c\in Z\] suy ra \[Q(x)=ax^2+bx+c\in Z\]

 

[NguoiDien]

Bài 2: Xác định a,b để A=x^3 + ax^2 + bx + 2 chia cho x+1 thì còn 5 và chia cho x+2 còn dư 8

Biến đổi:

\[P(x)=x^3+ax^2+bx+2=x^3+x^2+(a-1)x^2+(a-1)x+(b+1-a)x+(b+1-a)+1+a-b\]

\[=x^2(x+1)+(a-1)(x+1)x+(b-1+a)(x+1)+1+a-b\]

\[=(x+1)[x^2+(a-1)x+(b-1+a)]+1+a-b\]

tương tự

\[x^3+ax^2+bx+2=x^3+2x^2+(a-2)x^2+2(a-2)x+(b+4-2a)x+2(b+4-2a)+4a-2b-6\]

\[=x^2(x+2)+(a-2)(x+2)x+(b+4-2a)(x+2)+4a-2b-6\]

\[=(x+2)[x^2+(a-2)x+b+4-2a)]+4a-2b-6\]

Do đó \[P(x)\] chia cho \[x+1\] dư \[5\] suy ra \[1+a-b=5\] hay \[a-b=4\]

\[P(x)\] chia cho \[x+2\] dư \[8\] suy ra\[ 4a-2b-6=8\] hay \[2a-b=7\]

Vậy a,b cần tìm thỏa mãn \[a=3\] và \[b=-1\]

 

[victory102183]

bai 1: ta co: Q(0)=c

Q(1)=a+b+c

ma c