Giúp em giải đề thi hsg ni với

[hongan123]

Bài 3: Tam thức: \[f(x)=x^{2}+bx+c \] thỏa mãn \[\left|f(x) \right|\leq \frac{1}{2}\] với mọi \[x\epsilon \left[-1;1 \right]\].
Tìm hệ số cảu b và c.
Bài 4: Cho \[x,y,z>0\] thỏa mãn \[xy+yz+xz=1\].
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\[\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}.\]
Bài 5:
1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Hai điểm M,N được xác định:
\[\vec{CN}=\frac{1}{2}\vec{BC}; 3\vec{MA}+4\vec{MB}=\vec{0}\].
a, Chứng minh rằng M,N,G thẳng hàng.
b, Đường thẳng MN chi tam giác CAN thành 2 tam giác. Tính tỉ số diện tích 2 tam giác đó.
2. Cho tam giác ABC có các đường phân giác trong AE,BF,CP.
chứng minh: \[\frac{S_{\Delta EFP}}{S_{\Delta ABC}}=\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}. \].
hết.

 

[bomkute1996th]

Bài 4: Cho \[x,y,z>0\] thỏa mãn \[xy+yz+xz=1\].
Chứng minh bất đẳng thức sau:
\[\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{z}{\sqrt{z^{2}+1}}\leq \frac{3}{2}.\]

Ta có:\[{x}^{2}+1={x}^{2}+xy+yz+zx=(x+z)(x+y)\]

\[\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+z}}\leq \frac{1}{2}.(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})\] (áp dụng Cô-si)

Tương tự với \[\frac{y}{\sqrt{{y}^{2}+1}};\frac{z}{\sqrt{{z}^{2}+1}}\] sau đó cộng 3 vế lại sẽ ra đpcm