Giải các phương trình

[muahoatuyet]

1. \[4x^{2}+x.3^{\sqrt{x}} +3^{1+\sqrt{x}} =2.3^{\sqrt{x}}.x^{^{2}}+2x+6\]
2. \[4^{x^{2}}+(x^{2}-7).2^{x^{^{2}}}+12-4x^{2}=0\]

 

[NguoiDien]

1.

Điều kiện: \[x\neq 0\]

Biến đổi:

\[PT\Leftrightarrow (4-2.3^{\sqrt{x}})x^{2}-(2-3^{\sqrt{x}})x-(6-3.3^{\sqrt{x}})=0\]

\[\Leftrightarrow 2.(2-3^{\sqrt{x}}).x^{2}-(2-3^{\sqrt{x}}).x-3(2-3^{\sqrt{x}})=0\]

\[\Leftrightarrow (2-3^{\sqrt{x}}).(2x^2-x-3)=0\]

Đây là một phương trình tích và bạn hoàn toàn có thể giải nó một cách dễ dàng.

 

[NguoiDien]

2.

Đặt \[t=2^{x^2}\] với \[t>0\] ta có:

\[PT\Leftrightarrow t^2+(x^2-7)t+12-4x^2=0\]

Coi \[t\] là ẩn, \[x\] là tham số ta có:

\[\Delta =(x^2-7)^2-4(12-4x^2)=(x^2+1)^2\]

Khi đó ta có hai nghiệm:

\[\left[ \begin{matrix} t=4\qquad (1) \\ \\ t=3-x^2\qquad (2)\end{matrix}\right.\]

\[(1)\Leftrightarrow 2^{x^2}=4=2^2\Rightarrow x^2=2\]

\[(2)\Leftrightarrow 2^{x^2}=3-x^2\]. Nếu đặt \[x^2=u\] thì phương trình này trở thành: \[2^u=3-u\].

Dễ thấy vế trái là một hàm số đồng biến với \[u\], vế phải là một hàm số nghịch biến với \[u\]. Khi đó phương trình nếu có nghiệm \[u\] thì nghiệm đó là duy nhất. Mặt khác ta cũng dễ dàng thấy được \[u=1\] là nghiệm của phương trình này. từ đây ta có \[x^2=1\]

Vậy là đơn giản bạn nhỉ!