Đề HSG hình học 9

[light_future96]

1.Cho \[\Delta\] ABC nhọn trưc tâm H. Chứng minh rằng trung điểm của AB, CH và guao điểm 2 đường phân giác góc \[CAH\] , \[ CBH \] cùng nằm trên một đường thẳng.

2.Cho tứ giác ABCD nội tiếp 1 đường tròn, gọi m là điểm đối xứng của A qua BD, N là giao điểm của AM và BD, đường qua N song song với AC cắt CD, BC tại P,Q. Chứng minh rằng 4 điểm P,C,Q,M là 4 đỉnh của hình chữ nhật.

3.Tứ giác có độ dài các cạnh là số nguyên dương và độ dài mỗi cạnh là ước của tổng 3 cạnh còn lại. chứng minh rằng tứ giác có 2 cạnh bằng nhau.

4.A là điểm nằm trong (O;R) không trùng O.Xét tất cả các dây cung không đi qua A(không là đường kính). Tìm quỹ tích giao điểm các tiếp tuyến tại đầu mút các dây cung.

 

[Zun Đất]

Bài 1: gọi P là trung điểm CH, L là trung điểm AB, M là giao điểm 2 đường phân giác góc CAH và CBH. Q là giao điểm của ML và BC. Về phía ngoài TG ABC vẽ hình bình hành AKBH.có KA//BH nên \[\[KA\perp AC\]\] Tương tự \[\[KB\perp BC\]\]. Ta có L là trung điểm của HK nên PL//CK. Ta CM ML//CK.
Có: \[\widehat{HAC}=\widehat{HBC}=2\widehat{MAC}=2\widehat{MBC}\](2 góc có cạnh tương ứng vuông góc).
\[\Rightarrow \widehat{BAM}+\widehat{ABM}=\widehat{BAC}-\widehat{MAC}+\widehat{ABC}-\widehat{MBC}=180^{o}-\widehat{ACB}-2\widehat{MAC}=180^{o}-(\widehat{HAC}+\widehat{ACB})=180^{o}-90^{o}=90^{o}\Rightarrow AM\perp BM(1)\]
Và \[\widehat{MBQ}+\widehat{MQB}=\widehat{BML}=\widehat{LBM}(do (1))\Rightarrow \widehat{MBQ}=\widehat{LBM}-\widehat{MBQ}=\widehat{HBA}\] Mặt khác: \[\widehat{HBA}=\widehat{BAK}=\widehat{KCB}\]( TG AKBC nội tiếp)
\[\Rightarrow \widehat{MQB}=\widehat{KCB}\Rightarrow ML//CK\Rightarrow DPCM\]

Bài 2: Vẽ hình thấy không đúng mà .

Bài 3: gọi a,b,c,d là số đo 4 cạnh của tứ giác có \[a+b+c=kd,b+c+d=la,c+d+a=mb,d+a+b=nc,k,l,m,n\in N\]giả sử có tứ giác thỏa mãn ĐK nhưng 4 cạnh không bằng nhau. coi \[a>b>c>d\](1). Vì là tứ giác nên\[b+c+d>a,b+c+d<3a(do (1))\Rightarrow a<la<3a\Rightarrow l=2 \]\[\Rightarrow 2a=b+c+d<3b\]Mặt khác:\[a+b+c+d=kd+d=2a+a=mb+b=nc+c\Rightarrow \left(m+1 \right)b=3a<3*\frac{3}{2}b\Rightarrow m+1<\frac{9}{2}\Rightarrow m=3\] ( Vì \[\left(m+1 \right)b=3a>3b\Rightarrow m>2\]).\[\Rightarrow 3a=4b\Rightarrow \frac{9}{4}a=3b=c+d+a<a+2c\Rightarrow c>\frac{5}{8}a\Rightarrow 3a=\left(n+1 \right)c>\left(n+1 \right)\frac{5}{8}a\Rightarrow n+1<\frac{24}{5}\Rightarrow n\leq 3\].Mà \[4b=\left(n+1 \right)c>4c\Rightarrow n>3\]=> vô lí.=> TG phải có 2 cạnh bằng nhau.

Bài 4: Gọi CD là dây cung qua A mà không phải đường kính. vẽ đường tròn ĐK AO GS là (O'). B là giao điểm 2 tiếp tuyến tại C và D. I là trung điểm của CD. Có AI vuông góc với IO nên I thuộc (O'). Trên tia OA xác định E sao cho \[OA*OE={R}^{2}\].\[BOD\sim DOI\Rightarrow \frac{BO}{DO}=\frac{OD}{OI}\Rightarrow OI*OB={OD}^{2}={R}^{2}\Rightarrow OI*OB=OA*OE\Rightarrow \frac{OI}{OA}=\frac{OE}{OB}\Rightarrow OIA\sim OEB\Rightarrow BE\perp OE\]Vậy quỹ tích điểm B cần tìm là đường thẳng qua E vuông góc với OE.