Chứng minh các tứ giác: BDHF, BFEC nội tiếp?

[pepj_ngok96]

CHo tam giác nhọn ABC. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi I; K lần lượt là hình chiếu của B,C trên đường thẳng EF. Chứng minh:
a) Các tứ giác: BDHF, BFEC nội tiếp
b) H là tâm đường tròn nội tiếp tâm giác DEF
c) DE + DF = IK

hic! mọi ng giúp em giải câu c ý ạ :-ss... còn câu a và câu b thì dễ rùi ạ

 

[Zun Đất]

\[\Delta BIF\sim \Delta BEC\Rightarrow \frac{IF}{BF}= \frac{CE}{BC}\Rightarrow IF=\frac{BF*CE}{BC}\] tương tự:\[KF=\frac{BE*CF}{BC}\].Mặt khác\[\Delta BFD\sim \Delta BCA\Rightarrow \frac{DF}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow DF=\frac{AC*BF}{BC}\], và\[DE=\frac{CE*AB}{BC}\]. Để chứng minh \[DF+DE=IK\Leftrightarrow DF+DE=IF+KF \], ta chứng minh\[\frac{AC*BF}{BC}+\frac{CE*AB}{BC}=\frac{BF*CE}{BC}+\frac{BE*CF}{BC}\]. Vì \[\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{AB},\frac{CE}{BC}=\frac{DC}{AC},\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB},\frac{BE}{BC}=AD:AC\]nên ta cần chứng minh:\[\frac{AC*BD}{AB}+\frac{AB*DC}{AC}=\frac{BD*DC*BC}{AB*AC}+\frac{AD^{2}*BC}{AB*AC}\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AD^{2}*BC\]. Thay \[AD^{2}=AC^{2}-DC^{2}\]\[\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AC^{2}*BC-DC^{2}*BC\Leftrightarrow AC^{2}*DC+BD*DC*BC-AB^{2}*DC-DC^{2}*BC=0.\Leftrightarrow AC^{2}+BD*BC-AB^{2}-DC*BC=0.\]. mà\[AC^{2}-AB^{2}=AD^{2}+DC^{2}-AD^{2}-BD^{2}=DC^{2}-BD^{2}\] nên ta cần CM \[DC^{2}-BD^{2}+BD*BC-DC*BC=0\Leftrightarrow \left ( DC-BD \right )\left ( DC+BD-BC \right )=0.\] điều này hiển nhiên đúng vì \[DC+BD=BC\] (ĐPCM), hơi dài, thông cảm nha!

 

[pepj_ngok96]

\[\Delta BIF\sim \Delta BEC\Rightarrow \frac{IF}{BF}= \frac{CE}{BC}\Rightarrow IF=\frac{BF*CE}{BC}\] tương tự:\[KF=\frac{BE*CF}{BC}\].Mặt khác\[\Delta BFD\sim \Delta BCA\Rightarrow \frac{DF}{AC}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow DF=\frac{AC*BF}{BC}\], và\[DE=\frac{CE*AB}{BC}\]. Để chứng minh \[DF+DE=IK\Leftrightarrow DF+DE=IF+KF \], ta chứng minh\[\frac{AC*BF}{BC}+\frac{CE*AB}{BC}=\frac{BF*CE}{BC}+\frac{BE*CF}{BC}\]. Vì \[\frac{BF}{BC}=\frac{BD}{AB},\frac{CE}{BC}=\frac{DC}{AC},\frac{CF}{BC}=\frac{AD}{AB},\frac{BE}{BC}=AD:AC\]nên ta cần chứng minh:\[\frac{AC*BD}{AB}+\frac{AB*DC}{AC}=\frac{BD*DC*BC}{AB*AC}+\frac{AD^{2}*BC}{AB*AC}\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AD^{2}*BC\]. Thay \[AD^{2}=AC^{2}-DC^{2}\]\[\Leftrightarrow AC^{2}*BD+AB^{2}*DC=BD*DC*BC+AC^{2}*BC-DC^{2}*BC\Leftrightarrow AC^{2}*DC+BD*DC*BC-AB^{2}*DC-DC^{2}*BC=0.\Leftrightarrow AC^{2}+BD*BC-AB^{2}-DC*BC=0.\]. mà\[AC^{2}-AB^{2}=AD^{2}+DC^{2}-AD^{2}-BD^{2}=DC^{2}-BD^{2}\] nên ta cần CM \[DC^{2}-BD^{2}+BD*BC-DC*BC=0\Leftrightarrow \left ( DC-BD \right )\left ( DC+BD-BC \right )=0.\] điều này hiển nhiên đúng vì \[DC+BD=BC\] (ĐPCM), hơi dài, thông cảm nha!

thúc ơi thúc, đọc xong, kon bị choáng thúc ạ @-)
nhg mà dù sao vẫn thanks thúc nhìu :x

 

[Zun Đất]

Để thúc cố gắng tìm cách khác, tẹo nữa thúc post lên cho!