Chứng minh bất đẳng thức

[Lục Ngạn]

giả sử o=<x,y,z =<1
chứng minh rằng . \[(2^x+2^y+2^z)(2^-^x+2^-^y+2^-^z)=< 81/8 \]

 

[lovemenot]

giả sử o=<x,y,z =<1
chứng minh rằng . \[(2^x+2^y+2^z)(2^-^x+2^-^y+2^-^z)=< 81/8 \]

BÀI NÀY CHƯA LÀM NHƯNG CÓ THỂ CM BẰNG BDT HOẶC XÉT HÀM CŨNG DC

 

[Lục Ngạn]

bạn thử làm xem hj

 

[kastryas]

giả sử o=<x,y,z =<1
chứng minh rằng . \[(2^x+2^y+2^z)(2^-^x+2^-^y+2^-^z)=< 81/8 \]

bấm zô đây coi lời giải ở đây

 

[khanhsy]

giả sử o=<x,y,z =<1
chứng minh rằng . \[(2^x+2^y+2^z)(2^-^x+2^-^y+2^-^z)=< 81/8 \]

Ta đi từ bổ đề sau:
Nếu \[a_1,a_2,....,a_k\in [m;n]m>0\] Thì \[k^2\le A=\sum_{i=1}^k a_i.\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\le \frac{k^2(m+n)^2}{4mn}\]

\[(*)\]Thật vậy theo \[AM-GM\] cho \[k\] số dương ta được .
\[\sum_{i=1}^k a_i\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}a_i}\]
\[\sum_{i=1}^k \frac{1}{a_i}\ge k\sqrt[k]{\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{a_i}}\]
Nhân vế theo vế ta được
\[\righ A\ge k^2(1)\].
\[(*)\] Xét hàn số :
\[f(x)=x^2-(m+n)x+mn\le 0\foral x\in[m;n]\] \[\righ x+\frac{mn}{x}\le (m+n)\]
\[\left{a_1+\frac{mn}{a_1}\le (m+n)\\......................\\ a_k+ \frac{mn}{a_k} \le (m+n)\]
Cộng vế theo vế ta được và áp dụng \[AM-GM\] ta được . .
\[\righ k(m+n)\ge \sum_{i=1}^k a_i+\sum_{i=1}^k mn\frac{1}{a_i}\ge 2\sqrt[2]{mn.A}\]
\[\righ A\le\frac{k^2(m+n)^2}{4mn}(2)\]
Từ \[(1)&(2)\] Ta được bổ đề chứng minh xong .

Chú ý bất đẳng thức cho quá yếu .Ta có thể làm kết quả mạnh hơn :
Dấu bằng không xảy ra bên phải :
Dành cho thi Đại học là được.

Làm mạnh nó bằng bài Olampic đồng bằng sông Cữu Long

\[a, \ b, \ c \ \in \ [1 \ ; \ 2] \\ CM: \\ (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10 \]

\[LHS:=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+1+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+1+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\ \ (!)\]
\[gs:\ \ a\ge b\ge c\ \ \to 1\le \frac{a}{c}\le 2\]
Ta có :
\[(a-b)(b-c)=ab+bc\ge b^2+ac\]
\[\rightarrow \left{\frac{a}{c}+1\ge \frac{b}{c}+\frac{a}{b}\\1+\frac{c}{a}\ge \frac{b}{a}+\frac{c}{b}\ \ (!!)\]
\[(!)&(!!)\to LHS \le 5+2\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\)\]
Xét hàm số :
\[y=x+\frac{1}{x}\ \ \ \ \ \ 1\le x\le 2\]
\[\ \ y'=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\ge 0 \ \ \forall x\ \ 1\le x\le 2\]
\[\to x+\frac{1}{x}\le \frac{5}{2}\]
\[\to LHS \le 10\]
Đẳng thức xảy ra khi :
\[\left{a=b=2\\c=1\\Cyclic\]

 

[son93]

cho các số dương a, b Chứng minh rằng:
\[\frac{(1+a^2b)(1+b^2)}{(1-a+a^2)(1+b^3)}\leq 2\]

 

[son93]

cho các số dương a, b Chứng minh rằng:
\[\frac{(1+a^2b)(1+b^2)}{(1-a+a^2)(1+b^3)}\leq 2\]

Bài toán có khá nhiều cách chứng minh, Mình sẽ trình bày làm cho em lớp 10 đọc cũng hiểu như thế này nhé:
biến đổi tương đương về 1 tam thức bậc 2 ẩn a:
\[f(a)=a^2(b^3+b+2)-2a(1+b^3)+2b^3-b^2+1\]
\[\Delta =-(b^6-b^5+2b^4+6b^3-2b^2+b+1)=-[b^4(b^2-b+2)+b(6b^2-2b+1)+1]<0\] với b dương.
vậy là f(a) không âm rồi! dấu bằng tự xét nhé!

 

[son93]

Mình thêm 1 bài nữa nhé:
cho các số dương \[a,b,c\] thoả mãn \[ab+bc+ca=2abc\]
Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{a(2a-1)^2}+\frac{1}{b(2b-1)^2}+\frac{1}{c(2c-1)^2} \geq \frac{1}{2}\]

 

[mathematician]

Đặt \[x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}\] từ giả thiết ta được \[x+y+z=2\]
BĐT tương đương \[\frac{x^3}{(2-x)^2}+\frac{y^3}{(2-y)^2}+\frac{z^3}{(2-z)^2}\ge \frac{1}{2}\]
ta có \[\frac{x^3}{(2-x)^2}+\frac{(2-x)}{8}+\frac{(2-x)} {8}\ge \frac{3x}{4}\] (*)
ta có 2 BĐT tương tự với y và z ,cộng vế theo vế các BĐT này lại với nhau được đpcm.
Lưu ý rằng 2-x=y+z> 0 nên ta có thể sử dụng được bđt AM-GM ở (*) .Đăng thức xảy ra khi x=y=z=2/3, suy ra a=b=c=3/2

 

[maianh96]

Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1/ a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP]+4 >= ab + 2(a+b)>= 0

 

[maianh96]

Chứng minh các bđt thức sau:
1/(a[SUP]10[/SUP]+b[SUP]10[/SUP])(a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP])>= (a[SUP]8[/SUP]+b[SUP]8[/SUP])(a[SUP]4[/SUP]+b[SUP]4[/SUP])
2/ x[SUP]2[/SUP]-2xy+6y[SUP]2[/SUP]-12x+2y+41 >= 0 với mọi x, y

 

[khanhsy]

Chứng minh các bđt thức sau:
1/(a[SUP]10[/SUP]+b[SUP]10[/SUP])(a[SUP]2[/SUP]+b[SUP]2[/SUP])>= (a[SUP]8[/SUP]+b[SUP]8[/SUP])(a[SUP]4[/SUP]+b[SUP]4[/SUP])
2/ x[SUP]2[/SUP]-2xy+6y[SUP]2[/SUP]-12x+2y+41 >= 0 với mọi x, y

\[t=\frac{a}{b}\rightarrow (t^{10}+1)(t^2+1)-(t^8+1)(t^4+1)\ge 0 \rightarrow t^2(t^2-1)^2(t^4+t^2+1)\ge 0\]

\[f(x):=x^2-2xy+6y^2-12x+2y+41 \]

\[\rightarrow \Delta_x:=-(y-7)^2 \le 0 \rightarrow f(x) \ge 0\]

\[DONE!!\]

 

[ngocdieplp]

phải có a,b thuộc R+ thì mới có vế sau chứ nhỉ?

 

[ngocdieplp]

coi như a,b thuộc R+ nhá
khi đó vế2 hiển nhiên, còn vế1:
a^2 + b^2 +4 = (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 +2) + (b^2/2 +2 )
áp dụng cosi cho từng cặp số trong ngoặc ta đc đpcm.
dấu = xảy ra khi a=b=2

 

[mrcloud]

đúng rùi bài náy dùng cosi là chứng minh được

 

[nhu3004]

Chứng minh bất đẳng thức​

Giải giúp tớ vơi....

---

Cho a, b thuộc \[ [\frac{1}{3};1]\]


CM:
\[ (a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \leq \frac{100}{9}\]

 

[khanhsy]

---

giải giúp t vs....
cho a,b thuộc \[[1/3;1] cm (a+b)( 1/a + 1/b) < hoặc = 100/9\]

Chú ý \[ \frac{1}{3} \le \frac{b}{a}\le 3\]

\[VT:=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le \frac{16}{3}\]

 

[khanhsy]

Tôi nghĩ rằng bạn ăn mất con số \[c\] rồi irate:

 

[khanhsy]

\[\forall a,b,c \righ[\frac{1}{3};1\left] \rightarrow \right(a+b+c\left)\right(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}\left)\le \frac{133}{9}\]

 

[XXXDDD]

Cho a,b,c>=0
Chứng minh: \[a^3.b+b^3.c+c^3.a>=a^2.b^2+b^2.c^2+c^2.a^2\]