[Cần giúp]Tìm GTNN

[qtuan9]

cho x+y+z=3
Tim GTNN
\[P=\sqrt{4^{x}+9^{y}+16^{z}}+\sqrt{4^{y}+9^{z}+16^{x}}+\sqrt{4^{z}+9^{x}+16^{y}}\]

 

[hukhong_00_557]

ta binh phương P . áp dung cosi :
4^x+4^y+4^z >= 4^(x+y+z)
9^x+9^y+9^z >= 9^(x+y+z)
16^x+16^y+16^z >= 16^(x+y+z)
áp dụng bunhia:
kan{(4^x+9^y+16^z)(4^y+9^z+16^x)} >= (2^x+y + 3^y+z + 4^z+x)
kan{(4^x+9^y+16^z)(4^z+9^x+16^y)} >= (2^x+z + 3^y+x + 4^z+y)
kan{(4^y+9^z+16^x)(4^z+9^x+16^y)} >= (2^z+y + 3^x+z + 4^y+x)
tiếp tục dùng cosi cho may thang nay . the la 0k .

 

[khanhsy]

cho x+y+z=3
Tim GTNN
\[P=\sqrt{4^{x}+9^{y}+16^{z}}+\sqrt{4^{y}+9^{z}+16^{x}}+\sqrt{4^{z}+9^{x}+16^{y}}\]

Chúng ta có,

\[ |\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}\ge |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|\]

Vậy nên

\[P=\sqrt{4^{x}+9^{y}+16^{z}}+\sqrt{4^{y}+9^{z}+16^{x}}+\sqrt{4^{z}+9^{x}+16^{y}}\ge \sqrt{(2^x+2^y+2^z)^2+(3^x+3^y+3^z)^2+(4^x+4^y+4^z)^2}\]

\[\ge \sqrt{(3\sqrt[3]{2^{x+y+z}})^2+(3\sqrt[3]{3^{x+y+z}})^2+(3\sqrt[3]{4^{x+y+z}})^2}=3\sqrt{29}\]

 

[Duy Cường]

Dấu bằng xảy ra khi nào ạ?

 

[Phong Cầm]

Từ phép chứng minh trên thì tất nhiên dấu ''=" xảy ra khi x=y=z=1 rồi. Bạn dựa theo điều kiện dấu bằng của BĐT côsi và BĐT vecto.