Giải:
\[t=\sqrt{x+1}\Rightarrow t^{2}=x^{2}-1 \Rightarrow 2tdt=2xdx\]
\[\frac{xdx}{2x^{2}-1+3\sqrt{x^{2}}}=\frac{tdt}{2t^{2}+3t+1}\]
nên \[I=\int \frac{tdt}{2t^{2}+3t+1}\]
Ta có \[\frac{t}{2t^{2}+3t+1}=\frac{t}{(2t+1)(t+1)}\]
\[=\frac{A}{2t+1}+\frac{b}{t+1}\Rightarrow A=-1, B=1\]
\[\Rightarrow \int \left(\frac{-1}{2t+1} \right+\frac{1}{t+1})\]
\[=\frac{1}{2}ln\left|2t \right+1|+ln\left|t \right+1|+c\]
Giải:
\[t=\sqrt{2x+1}\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2x+1}}=dt\]
\[\Rightarrow dx=\sqrt{2x+1}dt\]
\[\Rightarrow \int \frac{\sqrt{2x+1}dt}{2x\sqrt{2x+1}}=\int \frac{dt}{t^{2}}\]
\[=ln\left| \frac{t-1}{t+1}\right|\]
Giải:
\[t=tan\frac{x}{2}\Rightarrow dt=\frac{1}{2}\frac{1}{cos^{2}\frac{x}{2}}dx\]
\[dx=\frac{2dt}{1+t^{2}}\]
\[\Rightarrow \int \frac{\frac{4dt}{1+t^{2}}}{\frac{4t}{t^{2}+1}-\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+1}\]
\[=\frac{2dt}{t(t+2)}=\frac{A}{t}+\frac{b}{t+2}\]
\[\Rightarrow A=-1, B=1\]
\[=ln\left|t \right|-ln\left|t \right+2|\]
Giải:
\[\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=t\Rightarrow \sqrt{x+1}=(t-\sqrt{x})^{2}\]
\[\Leftrightarrow \sqrt{x}=\frac{t^{2}-1}{2t}\]
\[\sqrt{x+1}=t=\frac{2t^{2}+1}{2t}\]
\[\Rightarrow \int \frac{(t^{2}+1}{t^2)(t+1)}\]
Tới đây phải đồng nhất A,B,C ma` ko làm đc hic. Bạn thông cảm, còn con 3 chưa nghĩ ra.
