• HÃY CÙNG TẠO & THẢO LUẬN CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC [Vn Kiến Thức] - Định hướng VnKienthuc.com
    -
    Mọi kiến thức & Thông tin trên VnKienthuc chỉ mang tính chất tham khảo, Diễn đàn không chịu bất kỳ trách nhiệm liên quan
    - VnKienthuc tạm khóa đăng ký tài khoản tự động để hạn chế SEO bẩn, SPAM, quảng cáo. Chưa đăng ký, KHÁCH vẫn có thể đọc và bình luận.

Các dạng bài toán về cực trị của hàm số

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
Trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học-Cao đẳng thường xuất hiện các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số. Bài viết này bắt đầu cho loạt bài về các dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số. Trước tiên, ta sẽ xét hai dạng bài tập sau:

Dạng 1
. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đạt cực trị tại \[x=x_0\].

Cách giải.

Bước 1 (ĐK cần). Giả sử hàm số đạt cực trị tại \[x_0\Rightarrow f'(x_0)=0\], tìm được \[m\].

Bước 2 (ĐK đủ). Với từng giá trị m tìm được, thử lại xem \[x_0\] có đúng là điểm cực trị theo yêu cầu không.

Chú ý.

1) Có thể dùng Qui tắc 1 hoặc 2 để kiểm tra lại đk đủ ở bước 2.

2) Một số lời giải sai lầm là dùng trực tiếp Qui tắc 2 để giải bài toán trên, chẳng hạn hàm số đạt cực tiểu tại \[x=x_0\] khi và chỉ khi \[\left{ f'(x_0)=0 \\ f''(x_0)>0\] . là lời giải sai. Chẳng hạn, hàm \[y=x^4\] đạt cực tiểu tại \[x=0\], nhưng \[f'(0)=f''(0)=0\]. (Trong kỳ thi TN THPT vừa qua có rất nhiều bạn mắc sai lầm này!).

Ví dụ 1
. Cho hàm số \[y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x-(m^2-1)\]. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại \[x=1\].

Lời giải.

TXĐ: \[D=R\]

\[y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)\] xác định với mọi \[x\in R\]

ĐK cần: HS đạt cực đại tại \[x=1\Rightarrow y'(1)=0\Leftrightarrow 3m^2-6m=0\Leftrightarrow m=0;m=2\]

ĐK đủ: Với \[m=0\Rightarrow y'=3x^2-3; y''=6x\Rightarrow y''(1)=6>0\Rightarrow\] HS đạt cực tiểu tại \[x=1\Rightarrow m=0\] loại

Với \[m=2\Rightarrow y'=3x^2-12x+9\Rightarrow y''=6x-12\Rightarrow y''(1)=-6<0\Rightarrow\] HS đạt cực đại tại \[x=1\].

KL: \[m=2\].

Ví dụ 2. Xác định m để hàm số \[y=\frac{x^2+mx+1}{x+m}\] đạt cực đại tại \[x=2\].

Lời giải.

TXĐ: \[D=R\setminus {-m}\]

\[y'=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m)^2}\] xác định với mọi \[x\neq -m\]

ĐK cần: Hàm số đạt cực đại tại \[x=2\Rightarrow y'(2)=0\Leftrightarrow m^2+4m+3=0\Leftrightarrow m=-1;m=-3\]

ĐK đủ: Với \[m=-1, y'=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}\]

bbt1.png


Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại \[x=0\], đạt cực tiểu tại \[x=2\]. Do đó \[m=-1\] không là giá trị cần tìm

Với \[m=-3; y'=\frac{x^2-6x+8}{(x-3)^2}\]

bbt2.png


Từ BBT suy ra hàm số đạt cực đại tại \[x=2\]

Kết luận: \[m=-3\]

Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị và thỏa mãn một vài điều kiện.

Cơ sở lý thuyết:

1) Cực trị hàm bậc 3: \[y=ax^3+bx^2+cx+d, (a\neq 0)\].

Hàm số có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi \[y'=0\] có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ hai điểm cực trị là nghiệm của phương trình \[y'=0\].

2) Cực trị hàm bậc 4: \[y=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e, (a\neq 0)\].

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi \[y'=0\] có 3 nghiệm phân biệt.

Nếu viết được \[y'=(x=x_0)P(x)\] với \[P(x)\] là tam thức bậc 2. Khi đó hàm số có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi \[P(x_0)=0\] hoặc \[\Delta_{P(x)}\leq 0\].

3) Cực trị của hàm phân thức: \[y=\frac{ax^2+bx+c}{dx+e}\]

HS có cực trị (hoặc 2 cực trị) khi và chỉ khi \[y'=0\] có 2 nghiệm phân biệt. Khi đó hoành độ các điểm cực trị là nghiệm phương trình \[y'=0\].

Chú ý: Với bài toán yêu cầu cụ thể điểm nào là cực đại, điểm nào là cực tiểu thì cần lập BBT để xác định điểm cực trị.

Với bài toán có vai trò của điểm cực đại, cực tiểu như nhau thì ta thường dùng Định lý Viet

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số \[y=\frac{1}{3}x^3+(m+3)x^2+4(m+3)x+m^2-m\] đạt cực trị tại \[x_1,x_2\] thỏa mãn \[-1<x_1<x_2\].

Lời giải.

TXĐ: \[D=R\]

\[y'=x^2+2(m+3)x+4(m+3)\], xác định với mọi \[x\in R\]

Đặt \[t=x+1\Rightarrow x=t-1\]

Hàm số đạt cực trị tại \[x_1,x_2\] thỏa mãn \[-1<x_1<x_2\] khi và chỉ khi \[y'=0\] có hai nghiệm \[x_1,x_2\] thỏa mãn \[-1<x_1<x_2\]. Thay\[ x=t-1\] vào PT \[y'=0\] thì điều này tương đương với phương trình

\[t^2+2(m+2)t+2m+10=0\] có hai nghiệm \[t_1,t_2\] thỏa mãn \[0<t_1<t_2\]. Tương đương với \[\left{ \Delta'=m^2+2m-6>0 \\ P=2m+10>0 \\ S=-2(m+2)>0 .\]

\[\Leftrightarrow -5<m<1-\sqrt{7}\]

Kết luận: \[\Leftrightarrow -5<m<1-\sqrt{7}\]

Ví dụ 4. Cho hàm số \[y=2x^3-3(m+2)x^2+6(5m+1)x-(4m^3+2)\]

Tìm \[m\] để hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.

Lời giải.

TXĐ: \[D=R\]

\[y'=6x^2-6(m+2)x+6(5m+1)\], xác định với mọi \[x\in R\]

Hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn \[1\] khi và chỉ khi \[y'=0\] có nghiệm thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: \[x_1<1<x_2\] hoặc \[1=x_1<x_2\]

Đặt \[t=x-1\Rightarrow x=t+1\]

Thế vào PT \[y'=0\] ta có \[g(t)=t^2-mt+4m=0\]

TH1: \[x_1<1<x_2\Leftrightarrow t_1<0<t_2\Leftrightarrow P=4m<0\Leftrightarrow m<0\]

TH2: \[1=x_1<x_2\Leftrightarrow 0=t_1<t_2\]. Thay \[t=0\] vào PT suy ra \[m=0\]. Khi đó \[g(t)=0\Leftrightarrow t^2=0\Leftrightarrow t=0\]. Do đó \[m=0\] không phải giá trị cần tìm.

Kết luận: \[m<0\]

Nhận xét:

1) Lời giải Ví dụ 3, Ví dụ 4 đều đưa bài toán về dạng so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với một số thực khác \[0\]. Với loại bài toán này, ta thường đặt ẩn phụ để đưa về bài toán cơ bản đã học ở lớp 10 là so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0. Cụ thể, cho tam thức bậc hai \[f(x)=ax^2+bx+c\]. Khi đó:

+) \[f(x)=0\] có hai nghiệm \[x_1<0<x_2\Leftrightarrow P=\frac{c}{a}<0\]

+) \[f(x)=0\] có hai nghiệm \[x_1<x_2<0\Leftrightarrow \left{ \Delta>0 \\ P=\frac{c}{a}>0 \\ S=\frac{-b}{a}<0\]

+) \[f(x)=0\] có hai nghiệm \[0<x_1<x_2\Leftrightarrow \left{ \Delta>0 \\ P=\dfrac{c}{a}>0 \\ S=\dfrac{-b}{a}>0 .\]

2) Trong Ví dụ 4, cần chú ý xét trường hợp \[1=x_1<x_2\]. Nếu không cẩn thận, các bạn rất có thể quên mất trường hợp này.

3) Cũng liên quan đến Áp dụng định lý Viet, bài toán có thể yêu cầu tính toán liên quan đến các biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm của một tam thức bậc 2. Một cơ sở lý thuyết để giải loại bài tập này là mọi biểu thức đối xứng đối với hai nghiệm \[x_1,x_2\] của tam thức đều có thể biểu diễn theo hai biểu thức đối xứng cơ bản là \[S=x_1+x_2, P=x_1x_2\]. Để hiểu rõ hơn vấn đề này, chúng ta làm một số ví dụ sau.

Ví dụ 5. Tìm m để hàm số \[y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+mx-1\] đạt cực trị tại \[x_1,x_2\] thỏa mãn \[|x_1-x_2|\geq 8\].

Lời giải.

TXĐ: \[D=R\]

\[y'=x^2-2mx+m\], xác định với mọi \[x\in R\]

Hàm số đạt cực trị tại \[x_1,x_2\Leftrightarrow \Delta'=m^2-m>0\Leftrightarrow m>1\] hoặc \[m<0\].

Theo Định lí Viet, ta có \[x_1+x_2=2m, x_1x_2=m\]

Do đó \[|x_1-x_2|\geq 8\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2\geq 64\]

\[\Leftrightarrow 4m^2-4m-64\geq 0\Leftrightarrow m\geq \frac{1+\sqrt{65}}{2}\] hoặc \[m\leq \frac{1-\sqrt{65}}{2}\]

Kết luận: \[m\geq \frac{1+\sqrt{65}}{2}\] hoặc \[m\leq \frac{1-\sqrt{65}}{2}\]

Ví dụ 6. Cho hàm số \[y=\frac{2}{3}x^3+(m+1)x^2+(m^2+4m+3)x\]. Tìm \[m\] để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại \[x_1, x_2\]. Tìm GTLN của biểu thức

\[A=|x_1x_2-2(x_1+x_2)|\].

Lời giải.

TXĐ: \[D=R\]

\[y'=2x^2+2(m+1)x+m^2+4m+3\]

Hàm số đạt cực trị tại \[x_1,x_2\Leftrightarrow \Delta'=-m^2-6m-5>0\Leftrightarrow -5<m<-1\].

Khi đó, theo Định lý Viet, ta có \[x_1+x_2=-m-1, x_1x_2=\frac{1}{2}(m^2+4m+3)\]

\[A=|\frac{1}{2}(m^2+4m+3)-2(-m-1)|=\frac{1}{2}|m^2+8m+7|\].

Bài toán trở thành tìm GTLN của \[A=|\dfrac{1}{2}|m^2+8m+7|\] trên \[(-5;-1)\]

Trên \[(-5;-1)\], ta có \[A=\frac{1}{2}(-m^2-8m-7)=\frac{1}{2}(-(m+4)^2+9)\leq \frac{9}{2}.\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[m=-4\in (-5;-1)\].

Kết luận: \[-5<m<-1\] và \[\max A=\frac{9}{2}\]

Bài tâp.

Bài 1. Cho hàm số \[y=x^3+2(m-1)x^2+(m^2-4m+1)x-2(m^2+1)\]. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại \[x_1,x_2\] thỏa mãn \[\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{1}{2}(x_1+x_2)\].

Bài 2. Tìm m để hàm số \[ y=\frac{1}{3}x^3+(m-2)x^2+(5m+4)x+m^2+1\] đạt cực trị tại \[x_1,x_2\] thỏa mãn \[x_1<-1<x_2\].

=======================
Nguồn: Mathblog.org
 
Sửa lần cuối bởi điều hành viên:

killbillgl

New member
Xu
0
mình đã xem đi xem lại vd 1 nhiều lần, mình không hiểu vi sao :
khi hàm số đạt cực đại tại "x=0 => f'(o)=0 <=> 6m2-6m=0", (phải la 3m^2-3=0 mới đúng nhưng sao chủ top vẩn để như vậy), như vậy thì cả bài đều sai hết. mình mong chủ topic xem lại để các em có được kiến thức bổ ích. nếu mình sai thì mình xin lỗi.
 

pjpj_95

New member
Xu
0
Thầy ơi, chỗ phần vd 1, em nghĩ là phải thế giá trị của m vào, rồi thử lại, tại vì nếu f'(x)=0, chưa chắc là có cực trị, có thể nếu đạo hàm ko xác định vẫn có thể có cực trị => cần thử lại
 
CHAT
  1. No shouts have been posted yet.

Chủ đề mới

VnKienthuc lúc này

Không có thành viên trực tuyến.

Định hướng

Diễn đàn VnKienthuc.com là nơi thảo luận và chia sẻ về mọi kiến thức hữu ích trong học tập và cuộc sống, khởi nghiệp, kinh doanh,...
Top