Bài tập về biện luận số nghiệm dựa vào đồ thị hàm số là dạng toán quan trọng. Trong đề thi vừa xuất hiện ở mức độ vận dụng thấp và có thể là cả vận dụng cao. Để làm được dạng toán này, trước hết hãy nắm vững kiến thức về đồ thị hàm số sau đó hãy rèn luyện nhiều bài tập để tích thêm kĩ năng.
Dưới đây là một bài viết giới thiệu tới bạn đọc tham khảo.
(Sưu tầm)
I. Phương pháp giải:
Đưa phương trình g(x;m) = 0 về các dạng bài sau:
Dạng 1: f(x) = h(m), trong đó h(m) là một hàm phụ thuộc vào tham số m.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), tìm các giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của miền xác định của hàm số y = f(x).
- Đường thẳng y = h(m) di động song song với trục hoành, dựa vào số giao điểm của đường thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = f(x) để biện luận số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.
Dạng 2: f(x) = ax + b, trong đó a cố định, b thay đổi.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
- Tìm các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc cho trước là a.
- Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục tung ( hoặc trục hoành) và giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục tung ( hoặc trục hoành). Cho b di động trên trục tung để suy ra số nghiệm của phương trình g(x;m).
Dạng 3: f(x) = ax + b, trong đó a thay đổi, b tùy ý.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
- Tìm điểm A(x0,y0) là điểm cố định của đường thẳng y = ax + b
- Viết các phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) đi qua A.
- Cho đường thẳng y = ax + b xoay quanh điểm cố định A. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.
Chú ý:
- Nếu hàm số y = f(x) có miền xác định là đoạn thẳng [a,b] thì đồ thị hàm số y =f(x) ta chỉ xét phần x ∈ [a,b].
- Một số bài toán đặt ẩn phụ t = ∂(x), với ∂(x) là một biểu thức trong phương trình ban đầu thì:
+ Dựa vào miền xác định của x để tìm miền xác định của t.
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(t) rồi làm giống như trên.
- Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối.
1. Dạng y = |f(x)|.
+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).
+ Lấy các phần của ( C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) phía dưới trục hoành.
2. Dạng
+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).
+ Lấy các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) >0.
+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) <0.
3. Dạng
làm tương tự như mục 2.
4. Dạng y = f(x) + |g(x)|.
Đồ thị gồm 2 phần:
+ Đồ thị ( C) y= f(x) + g(x) tương ứng với x sao cho g(x) >0.
+ Đồ thị ( C’) y = f(x) – g(x) tương ứng với x sao cho g(x) <0.
5. Dạng y = f(|x|).
+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y= f(x).
+ Lấy phần của ( C) bên phải trục oy tương ứng với x > 0.
+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục oy của phần của ( C) bên phải trục oy.
Mở rộng: Đối với bài toán bất phương trình làm tương tự, lưu ý:
Giả sử hàm f(x) tồn tại Max-Min trên R. Ta có:
- Nếu hàm f(x) không tồn tại Max-Min trên R, tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm được điều kiện bị chặn:M1 < f(x) < M2, khi đó:
Mở rộng: Đối với dạng bài tập phương trình tương giao.
- Cách giải: Chuyển tất cả ẩn, tham số của phương trình về 1 vế, ta sẽ được phương trình mới có dạng: g(x;m) = 0.
Như vậy, bài toán đã được đưa về dạng cơ bản. Tuỳ từng phương trình, chọn cách giải thích hợp.
II. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + 1 có đồ thị (C). Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x3 - 3x2 - m - 1 = 0 (*)
Lời giải
Đồ thị (C)
Ta có: 2x3 - 3x2 - m - 1 = 0 ⇔ 2x3 - 3x2 + 1 = m + 2
Vậy số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = m + 2 .
- Với m + 2 < 0 hoặc m + 2 > 1 ⇔ m < -2 hoặc m > -1 thì d và (C) có một điểm chung => phương trình (*) có một nghiệm.
- Với m + 2 = 0 hoặc m + 2 = 1 ⇔ m = –2 hoặc m = –1 thì d và (C) có hai điểm chung => phương trình (*) có hai nghiệm.
- Với 0 < m + 2 < 1 ⇔ -2 < m < -1 thì d và (C) có ba điểm chung => phương trình (*) có ba nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x4 - 4x2 + 3 có đồ thị (C). Tìm m để phương trình -x4 + 4x2 - 3 - m = 0 (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Đồ thị (C)
Ta có: (*) x4 - 4x2 + 3 = m
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -m .
Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì d và (C) phải cắt nhau tại 4 điểm.
=> -1 < -m < 3 ⇔ -3 < m < 1
Vậy với -3 < m < 1 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Dưới đây là một bài viết giới thiệu tới bạn đọc tham khảo.
(Sưu tầm)
I. Phương pháp giải:
Đưa phương trình g(x;m) = 0 về các dạng bài sau:
Dạng 1: f(x) = h(m), trong đó h(m) là một hàm phụ thuộc vào tham số m.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), tìm các giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị của hàm số tại các điểm đầu mút của miền xác định của hàm số y = f(x).
- Đường thẳng y = h(m) di động song song với trục hoành, dựa vào số giao điểm của đường thẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = f(x) để biện luận số nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.
Dạng 2: f(x) = ax + b, trong đó a cố định, b thay đổi.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
- Tìm các tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) có hệ số góc cho trước là a.
- Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục tung ( hoặc trục hoành) và giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục tung ( hoặc trục hoành). Cho b di động trên trục tung để suy ra số nghiệm của phương trình g(x;m).
Dạng 3: f(x) = ax + b, trong đó a thay đổi, b tùy ý.
- Vẽ đồ thị hàm số y = f(x).
- Tìm điểm A(x0,y0) là điểm cố định của đường thẳng y = ax + b
- Viết các phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) đi qua A.
- Cho đường thẳng y = ax + b xoay quanh điểm cố định A. Từ đó suy ra nghiệm của phương trình g(x;m) = 0.
Chú ý:
- Nếu hàm số y = f(x) có miền xác định là đoạn thẳng [a,b] thì đồ thị hàm số y =f(x) ta chỉ xét phần x ∈ [a,b].
- Một số bài toán đặt ẩn phụ t = ∂(x), với ∂(x) là một biểu thức trong phương trình ban đầu thì:
+ Dựa vào miền xác định của x để tìm miền xác định của t.
+ Vẽ đồ thị hàm số y = f(t) rồi làm giống như trên.
- Đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối.
1. Dạng y = |f(x)|.
+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).
+ Lấy các phần của ( C) ở phía trên trục hoành.
+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) phía dưới trục hoành.
2. Dạng
+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y = f(x).
+ Lấy các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) >0.
+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục hoành của các phần của ( C) tương ứng với x sao cho g(x) <0.
3. Dạng
4. Dạng y = f(x) + |g(x)|.
Đồ thị gồm 2 phần:
+ Đồ thị ( C) y= f(x) + g(x) tương ứng với x sao cho g(x) >0.
+ Đồ thị ( C’) y = f(x) – g(x) tương ứng với x sao cho g(x) <0.
5. Dạng y = f(|x|).
+ Vẽ đồ thị ( C) của hàm số y= f(x).
+ Lấy phần của ( C) bên phải trục oy tương ứng với x > 0.
+ Lấy thêm phần đối xứng qua trục oy của phần của ( C) bên phải trục oy.
Mở rộng: Đối với bài toán bất phương trình làm tương tự, lưu ý:
Giả sử hàm f(x) tồn tại Max-Min trên R. Ta có:
- Nếu hàm f(x) không tồn tại Max-Min trên R, tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm được điều kiện bị chặn:M1 < f(x) < M2, khi đó:
Mở rộng: Đối với dạng bài tập phương trình tương giao.
- Cách giải: Chuyển tất cả ẩn, tham số của phương trình về 1 vế, ta sẽ được phương trình mới có dạng: g(x;m) = 0.
Như vậy, bài toán đã được đưa về dạng cơ bản. Tuỳ từng phương trình, chọn cách giải thích hợp.
II. Ví dụ minh hoạ.
Ví dụ 1. Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + 1 có đồ thị (C). Biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x3 - 3x2 - m - 1 = 0 (*)
Lời giải
Đồ thị (C)
Ta có: 2x3 - 3x2 - m - 1 = 0 ⇔ 2x3 - 3x2 + 1 = m + 2
Vậy số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = m + 2 .
- Với m + 2 < 0 hoặc m + 2 > 1 ⇔ m < -2 hoặc m > -1 thì d và (C) có một điểm chung => phương trình (*) có một nghiệm.
- Với m + 2 = 0 hoặc m + 2 = 1 ⇔ m = –2 hoặc m = –1 thì d và (C) có hai điểm chung => phương trình (*) có hai nghiệm.
- Với 0 < m + 2 < 1 ⇔ -2 < m < -1 thì d và (C) có ba điểm chung => phương trình (*) có ba nghiệm.
Ví dụ 2. Cho hàm số y = x4 - 4x2 + 3 có đồ thị (C). Tìm m để phương trình -x4 + 4x2 - 3 - m = 0 (*) có 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Đồ thị (C)
Ta có: (*) x4 - 4x2 + 3 = m
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số điểm chung giữa đồ thị (C) và đường thẳng d: y = -m .
Vậy để phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt thì d và (C) phải cắt nhau tại 4 điểm.
=> -1 < -m < 3 ⇔ -3 < m < 1
Vậy với -3 < m < 1 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt.
