Bất đẳng thức

[son93]

mà thôi làm luôn:
\[27.\frac{778}{11}a.\frac{778}{11}b.c\leq \left[\frac{778}{11}(a+b)+c \right]^3\]
\[=\left[\frac{767}{11}(a+b)+(a+b+c) \right]^3\leq 27.1945^3\]
đến đây có đpcm, dấu bằng xảy ra như phân tích trên!

 

[son93]

Mình góp vui với bài này nhé!
cho \[x+y+z=xyz\]
tìm min của biểu thức \[S=x+3y+4z\]

 

[son93]

Thêm 1 bài nữa nè:
cho các số thực dương \[a, b, c\] thỏa mãn \[abc=1\]
chứng minh rằng:
\[\frac{2}{a+b+c}+\frac{1}{3}\geq \frac{3}{ab+bc+ca}\]

 

[paxcan_7293]

hjhj S0n93 oi Pm tôi nha Y!m: xdatai_codon pm som nha

 

[son93]

Mình có bài mới
cho các số thực dương \[a, b, c\]thỏa mãn \[a^2+b^2+c^2=abc\]
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[S=\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\]

 

[son93]

Mình có bài mới
cho các số thực dương \[a, b, c\]thỏa mãn \[a^2+b^2+c^2=abc\]
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[S=\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ac}+\frac{c}{c^2+ab}\]

lại tự sử
\[\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq \frac{1}{2\sqrt{bc}}=\frac{a}{2a\sqrt{bc}}\geq \frac{a}{a^2+bc}\]
tương tự được
\[2( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}) \geq S\]
\[2( \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}) =\frac{2(ab+bc+ca)}{abc}\]
\[a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca\] vậy max của S là 2.dấu "=" tự xét nhé bạn!

 

[son93]

Con này thi thử đại học trường mình này:
\[0< x,y,z <1\] thỏa mãn \[xyz=(1-x)(1-y)(1-z)\] chứng minh rằng \[x^2+y^2+z^2 \geq \frac{3}{4}\]

 

[khanhsy]

Con này thi thử đại học trường mình này:
\[0< x,y,z <1\] thỏa mãn \[xyz=(1-x)(1-y)(1-z)\] chứng minh rằng \[x^2+y^2+z^2 \geq \frac{3}{4}\]

Bài toán trên là
\[a,b,c>0\ \ ,\ \ abc=1\ \ Cmr\ \ LHS:=\sum_{cyclic}\frac{1}{\(1+a\)^2}\ge \frac{3}{4}\]

Ta có :

\[\left{\frac{1}{\(1+a\)^2}+\frac{1}{\(1+b\)^2}-\frac{1}{1+ab}=\frac{ab\(a-b\)^2+\(ab-1\)^2}{\(1+a\)^2\(1+b\)^2\(1+ab\)}\ge 0\\ \frac{c}{1+c}+\frac{1}{\(1+c\)^2}- \frac{3}{4}=\frac{\(c-1\)^2\(c+1\)}{4\(1+c\)^3}\ge 0 \]

Do đó tôi chứng minh xong.

 

[son93]

Con này thi thử đại học trường mình này:
\[0< x,y,z <1\] thỏa mãn \[xyz=(1-x)(1-y)(1-z)\] chứng minh rằng \[x^2+y^2+z^2 \geq \frac{3}{4}\]

Mình làm thế này này: từ giả thiết có được \[-4xyz-2(x+y+z)+2(xy+yz+zx)+2 = 0\]
lại có \[x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx) = -4xyz+(x+y+z)^2-2(x+y+z)+2 \geq \frac{-4(x+y+z)^3}{27}+(x+y+z)^2-2(x+y+z)+2\]
đặt \[x+y+z = t\] với \[0<t<3\]
xét hàm số \[f(t) = \frac{-4t^3}{27} +t^2-2t+2\]
lại có \[ f'(t) = 0\] tại \[t = \frac{3}{2} ........t=3\]
vậy min của \[f(t)\] với \[0<t<3\] tại \[f(\frac{3}{2}) = \frac{3}{4}\]
dấu bằng xảy ra khi \[x = y = z = \frac{1}{2}\]

 

[khanhsy]

Con này thi thử đại học trường mình này:
\[0< x,y,z <1\] thỏa mãn \[xyz=(1-x)(1-y)(1-z)\] chứng minh rằng \[x^2+y^2+z^2 \geq \frac{3}{4}\]

Bài toán trên là
\[a,b,c>0\ \ ,\ \ abc=1\ \ Cmr\ \ LHS:=\sum_{cyclic}\frac{1}{\(1+a\)^2}\ge \frac{3}{4}\]

Ta có :
\[\left{\frac{1}{\(1+a\)^2}+\frac{1}{\(1+b\)^2}-\frac{1}{1+ab}=\frac{ab\(a-b\)^2+\(ab-1\)^2}{\(1+a\)^2\(1+b\)^2\(1+ab\)}\ge 0\ \ \(*\) \\ \frac{1}{\(1+c\)^2}+\frac{1}{\(1+1\)^2}\ge \frac{1}{c+1} \]

Ta lại có :

\[\frac{c}{c+1}+\frac{1}{c+1}=1\]

Ồ chỉ dùng 1 bất đẳng thức thôi Sơn ơi là ra rồi , cái này anh thấy có lí quá
\[Done!!\]:byebye:

 

[son93]

Cho a,b,c duong và \[a+b+c=abc\]. Chung minh:
\[\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ca(1+b^2)}}+ \frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}\leq \frac{3}{2}\].

2, Cho \[a,b,c>1 \] và \[abc=8\]. Tìm GTNN của:
\[P=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\].


3, Cho \[x,y,z\in{(0;1]}\] . Chung minh:
\[\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leq \frac{5}{x+y+z}\].


4, Cho \[x,y,z\in{[1;3]}\]. Chung minh:
\[(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\leq 12\].


5,Cho x,y,z duong và \[x^2+y^2+z^2=3\]. Tìm GTLN của:
\[P=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\].

Cho a.b.c duong va \[a+b+c=3\]. Chung minh:
\[(a+c)(b+1)\geq abc(a^2+b^2+c^2+1)\].

 

[kuta tutu]

tiếp nữa :

6, cho \[ x,y,z \geq 0\] và \[x+y+z = 3 \].Tìm GTNN

\[S = x^2 + 2y^2 + 3z^2 \]

7, cho \[x,y > o\] .tìm giá trị lớn nhất của \[S = \frac{(x+y)^3}{xy^2}\]

 

[son93]

tiếp nữa :

6, cho \[ x,y,z \geq 0\] và \[x+y+z = 3 \].Tìm GTNN

\[S = x^2 + 2y^2 + 3z^2 \]

7, cho \[x,y > o\] .tìm giá trị lớn nhất của \[S = \frac{(x+y)^3}{xy^2}\]

2 bài này dùng chọn điểm rơi của Cosy.
thế này nhé:
\[ x^2 + k^2 \geq 2kx\]
\[2y^2+\frac{k^2}{2} \geq 2ky\]
\[3z^2+\frac{k^2}{3} \geq 2kz\]
dấu bằng sảy ra khi \[x = k, y = \frac{k}{2}, z =\frac{k}{3}\]
phải chọn k để \[k+\frac{k}{2}+\frac{k}{3}=3\]
Bài 2 thì dễ rồi:
tách \[(x+y)^3 = (x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2})^3 \geq ....\]
đến đó tự làm tiếp được rồi!

 

[khanhsy]

tiếp nữa :

6, cho \[ x,y,z \geq 0\] và \[x+y+z = 3 \].Tìm GTNN
\[S = x^2 + 2y^2 + 3z^2 \]
7, cho \[x,y > o\] .tìm giá trị lớn nhất của \[S = \frac{(x+y)^3}{xy^2}\]

\[ \left{\(x^2 + 2y^2 + 3z^2\)\(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\)\ge \(x+y+z\)^2\\ x+\frac{y}{2}+\frac{y}{2} \ge 3\sqrt[3]{x.\frac{y^2}{4}}\]

 

[son93]

bài này dễ nhất trong số các bài trên:
\[x^2+y^2+z^2=3\]
\[2(xy+yz+zx)=(x+y+z)^2-(x^2+y^2+z^2)=(x+y+z)^2-3\]
từ giả thiết suy ra được \[ 3 \geq x+y+z \geq \sqrt{3}\]
biểu thức trên trở thành hàm 1 biến (x+y+z)
\[f(t)=\frac{t^2-3}{2}-\frac{5}{t}\] xét trên \[[\sqrt{3};3]\]
done!

 

[son93]

bài 2 cũng không khó bạn làm như sau:
đặt: \[xyz=8\]
\[x=\frac{2a}{b};y=\frac{2b}{c};z=\frac{2c}{a}\]
bài toán trở thành:
\[\frac{a}{2c+a}+\frac{b}{2a+b}+\frac{c}{2b+c} \geq \frac{a^2}{2ac+a^2}+\frac{b^2}{2ab+b^2}+\frac{c^2}{2bc+c^2} \geq \frac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}=1\]
dấu "=" khi a = b = c = 2

 

[coconvuive12]

cái cuối biến đổi kiểu ji` ra hay dữ ta.cả mấy bài trên nữa.Làm rõ ra đi đại ca đừng làm tắt thế chứ.

 

[son93]

Bồi thêm 1 bài nữa, bài này là bài trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm ngoái (không khó đâu)
\[ab+bc+ca=3.....CMR:\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}\geq \frac{3}{4}\]

 

[son93]

Cho a,b,c duong và \[a+b+c=abc\]. Chung minh:
\[\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^2)}}+\frac{b}{\sqrt{ca(1+b^2)}}+ \frac{c}{\sqrt{ab(1+c^2)}}\leq \frac{3}{2}\].
.

Bài này thì làm thế nào nhỉ?
Thử cái xem nào:
cái con này làm thử nháp thế này
đặt \[\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c\]
vậy giả thiết trở thành:
\[xy+yz+zx=1\]
và chứng minh rắng:
\[\sqrt{\frac{yz}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{xy}{z^2+1}}+\sqrt{\frac{zx}{y^2+1}} \leq \frac{3}{2}\]
\[\sqrt{\frac{yz}{x^2+1}}=\sqrt{\frac{yz}{x^2+xy+yz+zx}}=\sqrt{\frac{yz}{(x+y)(x+z)}} \leq \frac{1}{2}(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{x+z})\]
OK tương tự ta có được thêm 2 bất đẳng thức như vậy nữa, bài toán xong!

 

[khanhsy]

Bồi thêm 1 bài nữa, bài này là bài trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm ngoái (không khó đâu)
\[ab+bc+ca=3.....CMR:\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}\geq \frac{3}{4}\]

\[ \frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8} =\frac{a^3}{(b+c)(b+a)}+\frac{b+c}{8}+\frac{b+a}{8}\ge \frac{3}{4}a\ \ \ \ ;\ \ a+b+c\ge \sqrt{3\(ab+bc+ca\)}\]

Xây dựng tượng tự là thành công! \[Done!!\]