Bất đẳng thức 2a² +3b²≥6/5

[octieu155]

Ai giúp mình giải bài này với! Mình làm hoài không ra, mình chỉ chắc chắn là dùng Bất Đẳng Thức BCS thui hà

Giúp mình nhé!Càng sớm càng tốt ha! Mình sắp thi gòi! Đa tạ nhìu nhém!

Với a + b = 1. CMR 2a² +3b² ≥ \[\frac{6}{5}\]

 

[kastryas]

Ai giúp mình giải bài này với! Mình làm hoài không ra, mình chỉ chắc chắn là dùng Bất Đẳng Thức BCS thui hà

Giúp mình nhé!Càng sớm càng tốt ha! Mình sắp thi gòi! Đa tạ nhìu nhém!

Với a + b = 1. CMR 2a² +3b² ≥ \[\frac{6}{5}\]

Cách I:

Có:

\[5.(2a^2+3b^2)=10a^2+15b^2=6.(a+b)^2+(2a-3b)^2=6+(2a-3b)^2\ge 6\]. Done!!

Cách II

Đặt:

\[a=\frac{3+t}{5}; b=\frac{2-t}{5}\]
Thay vào có
\[2a^2+3b^2=2.\left(\frac{3+t}{5}\right)^2+3.\left( \frac{2-t}{5} \right)^2=6/5+\frac{t^2}{5}\ge 6/5.\] Done!!

Cách III

Theo BCS có:
\[(3+2).(2a^2+3b^2)=\left( (\sqrt{3})^2+(\sqrt{2})^2\right).\left((a\sqrt{2})^2+(b\sqrt{3})^2\right)\ge \left(a\sqrt{2} . \sqrt{3}+b\sqrt{3} . \sqrt{2} \right)^2=6.(a+b)^2=6\]. Done!!

Muốn mấy cách nữa nào?

 

[unbreakable]

Ai giúp mình giải bài này với! Mình làm hoài không ra, mình chỉ chắc chắn là dùng Bất Đẳng Thức BCS thui hà

Giúp mình nhé!Càng sớm càng tốt ha! Mình sắp thi gòi! Đa tạ nhìu nhém!

Với a + b = 1. CMR 2a² +3b² ≥ \[\frac{6}{5}\]

Thêm cách nữa.

Từ GT ta có a = 1 - b

Thay vào 2a² +3b² ≥ \[\frac{6}{5}\] ta được

\[2(1 - b)^2 + 3b{}^2 = \left( {\sqrt 5 b - \frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2 + \frac{6}{5} \ge \frac{6}{5} (Done!!!)\]

 

[BútTre]

Thêm cách nữa.

Từ GT ta có a = 1 - b

Thay vào 2a² +3b² ≥ \[\frac{6}{5}\] ta được

\[2(1 - b)^2 + 3b{}^2 = \left( {\sqrt 5 b - \frac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2 + \frac{6}{5} \ge \frac{6}{5} (Done!!!)\]

Cách nữa vậy, chả biết có bị trùng hok.
Theo BCS:
\[ \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}a + \frac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{3}b \leq (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}).(2a^2+3a^2)\]
\[\Leftrightarrow 1 \leq \frac{5}{6}.(2a^2+3a^2)\]
\[\Leftrightarrow \frac{6}{5}\leq 2a^2+3a^2 \]
Xong!