Min max hàm số có ứng dụng thực tế nhiều, và các bài toán thực tế về nó thường xuất hiện trong các kì thi. Không phải bài nào cũng dễ dàng nhận ra, chúng ta cần phải có những kĩ năng nhất định để nhìn nhận. Việc tính chi phí hay các giá trị ẩn số và đề bài cho thường là giá trị min max hoặc dấu "=" xảy ra. Ứng dụng này rèn luyện chúng ta trong việc giải toán về hàm số và sử dụng bất đẳng thức đại số linh hoạt.
Dưới đây, xin giới thiệu tới bạn đọc bài toán thực tế ứng dụng min max hàm số.
Bài tập 1: Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 100m^2 để làm khu vườn. Hỏi người đó phải mua mảnh đất có kích thước như thế nào để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất?
A. 10m x 10m. B. 4m x 25m. C. 5m x 20m. D. 25m x 8m.
Đáp án: Chọn A
Yêu cầu bài toán: Cho diện tích và tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi hình chữ nhật
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật
Diện tích hình chữ nhật là S=xy=100⇔y=100/x
Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) là C=2x+2y=2x+200/x
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có 2x+200/x≥2√2.200 = 40⇒Cmin=40
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x=200/x⇔x^2=100⇔x=10⇒y=10
Bài tập 2: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. x=4. B. x=3. C. x=2. D. x=1.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Khi cắt và gấp tấm nhôm, ta được hình hộp chữ nhật có chiều cao x; đáy là hình vuông cạnh 12−2x⇒ Thể tích khối hộp chữ nhật là V=Bh=x.(12−2x)(12−2x)
Cách 1. Khảo sát hàm số f(x)=x.(12−2x).(12−2x) trên (0;6)→max(0;6)
Cách 2. Ta có 4x(12−2x).(12−2x)≤(4x+12−2x+12−2x)327=512⇒V≤128
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4x=12−2x⇔6x=12⇔x=2.
Bài tập 3: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x^3+2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y−27y^2 (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày).
A. 5. B. 6. C. 7. D. 4.
Đáp án: Chọn B
Tổng số tiền hai máy làm được là
T=TA+TB=x^3−27y^2+2x+326y
Theo bài ra, ta có x+y=10;y≤6 nên y=10−x
và 4≤x≤10
Suy ra T=x^3−27(10−x)^2+2x+326(10−x)=x^3−27x^2+216x+560
Xét hàm số f(x)=x^3−27x^2+216x+560 trên [4;10], có f′(x)=3(x^2−18x+72)
Phương trình
f′(x)=0⇔x=6→max [ 4;10]
f(x)=f(6)=1100
Vậy x=6 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 4: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm^3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là
A. 23√2dm. B. 2dm. C. 4dm. D. 2√2dm.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Gọi h, x lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của hình hợp chữ nhật
Thể tích khối hộp chữ nhật là V=Bh=x^2h=8⇔h=8x^2
Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là Stp=Sxq+Sd=4hx+2x^2=2x^2+32/x
Ta có 2x^2+32/x=2x^2+16/x+16/x≥3×3√2x^2.16/x.16/x=24⇒Smin=24
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x^2=16/x⇔x^3=8⇔x=2
Sưu tầm
Qua một vài bài trên, hi vọng sẽ giúp bạn hình dung được dạng toán này. Chủ yếu khai thác dữ liệu bài toán, đặt ẩn số về 1 ẩn sao cho phù hợp rồi giải quyết bài toán nhanh chóng. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao !
Dưới đây, xin giới thiệu tới bạn đọc bài toán thực tế ứng dụng min max hàm số.
Bài tập 1: Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 100m^2 để làm khu vườn. Hỏi người đó phải mua mảnh đất có kích thước như thế nào để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất?
A. 10m x 10m. B. 4m x 25m. C. 5m x 20m. D. 25m x 8m.
Đáp án: Chọn A
Yêu cầu bài toán: Cho diện tích và tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi hình chữ nhật
Gọi x, y lần lượt là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật
Diện tích hình chữ nhật là S=xy=100⇔y=100/x
Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) là C=2x+2y=2x+200/x
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có 2x+200/x≥2√2.200 = 40⇒Cmin=40
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x=200/x⇔x^2=100⇔x=10⇒y=10
Bài tập 2: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
A. x=4. B. x=3. C. x=2. D. x=1.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Khi cắt và gấp tấm nhôm, ta được hình hộp chữ nhật có chiều cao x; đáy là hình vuông cạnh 12−2x⇒ Thể tích khối hộp chữ nhật là V=Bh=x.(12−2x)(12−2x)
Cách 1. Khảo sát hàm số f(x)=x.(12−2x).(12−2x) trên (0;6)→max(0;6)
Cách 2. Ta có 4x(12−2x).(12−2x)≤(4x+12−2x+12−2x)327=512⇒V≤128
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4x=12−2x⇔6x=12⇔x=2.
Bài tập 3: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x^3+2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y−27y^2 (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày).
A. 5. B. 6. C. 7. D. 4.
Đáp án: Chọn B
Tổng số tiền hai máy làm được là
T=TA+TB=x^3−27y^2+2x+326y
Theo bài ra, ta có x+y=10;y≤6 nên y=10−x
và 4≤x≤10
Suy ra T=x^3−27(10−x)^2+2x+326(10−x)=x^3−27x^2+216x+560
Xét hàm số f(x)=x^3−27x^2+216x+560 trên [4;10], có f′(x)=3(x^2−18x+72)
Phương trình
f′(x)=0⇔x=6→max [ 4;10]
f(x)=f(6)=1100
Vậy x=6 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 4: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm^3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là
A. 23√2dm. B. 2dm. C. 4dm. D. 2√2dm.
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Gọi h, x lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của hình hợp chữ nhật
Thể tích khối hộp chữ nhật là V=Bh=x^2h=8⇔h=8x^2
Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là Stp=Sxq+Sd=4hx+2x^2=2x^2+32/x
Ta có 2x^2+32/x=2x^2+16/x+16/x≥3×3√2x^2.16/x.16/x=24⇒Smin=24
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2x^2=16/x⇔x^3=8⇔x=2
Sưu tầm
Qua một vài bài trên, hi vọng sẽ giúp bạn hình dung được dạng toán này. Chủ yếu khai thác dữ liệu bài toán, đặt ẩn số về 1 ẩn sao cho phù hợp rồi giải quyết bài toán nhanh chóng. Chúc bạn học tốt và đạt kết quả cao !
Sửa lần cuối:
